No Image

Вычислить объем правильной четырехугольной пирамиды

213 просмотров
10 марта 2020

Четырехугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит квадрат, а все боковые грани являются одинаковыми равнобедренными треугольниками.

У данного многогранника есть множество различных свойств:

  • Его боковые ребра и прилегающие к ним двугранные углы равны между собой;
  • Площади боковых граней одинаковы;
  • В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат;
  • Высота, опущенная из вершины пирамиды, пересекается с точкой пересечения диагоналей основания.

Все эти свойства помогают легко находить площадь четырехугольной пирамиды. Однако довольно часто помимо нее требуется рассчитать объем многогранника. Для этого применяется формула объема четырехугольной пирамиды:

То есть объем пирамиды равен одной третьей произведения высоты пирамиды на площадь основания. Так как площадь квадрата равна произведению его равных сторон, то мы сразу вписываем в выражение объема формулу площади квадрата.
Рассмотрим пример расчета объема четырехугольной пирамиды.

Вот таким образом, зная несколько простых формул, мы смогли рассчитать объем правильной четырехугольной пирамиды. Не забывайте, что данная величина измеряется в кубических единицах.

На данной странице калькулятор поможет рассчитать объем пирамиды онлайн. Для расчета задайте площадь, высоту, сторону или количество сторон. Вычисления производятся в миллиметрах, сантиметрах, метрах. Результат выводится в кубических сантиметрах, литрах и кубических метров.

Пирамида – многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину. Пирамида является частным случаем конуса. Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

Формулировка задачи: Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна K, а боковое ребро равно N.

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 13 (Задачи по стереометрии).

Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примере и выведем общий способ решения.

Читайте также:  Delphi экспорт в word

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 8, а боковое ребро равно √41.

Объем любой пирамиды равен:

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат со стороной 8. Поэтому площадь основания равна:

Теперь нужно вычислить высоту пирамиды, используя сторону основания и боковое ребро. Для этого проведем диагональ в основании правильной четырёхугольной пирамиды. Диагональ квадрата в основании равна:

Получим прямоугольный треугольник, катетами которого являются половина диагонали и высота пирамиды, а гипотенузой – боковое ребро пирамиды. Поэтому высоту пирамиды можно вычислить по теореме Пифагора:

h = √ 41 – (4√ 2 ) 2 = √ 41 – 32 = 3

Осталось найти объем пирамиды, подставив все полученные данные:

V = 1/3 ⋅ 64 ⋅ 3 = 64

В общем виде решение данной задачи по стереометрии выглядит следующим образом:

V = 1/3 ⋅ K 2 ⋅ √ N 2 – (K/2 ⋅ √ 2 ) 2

где K – сторона основания, N – боковое ребро.

Остается лишь подставить конкретные значения и подсчитать результат.

Поделитесь статьей с одноклассниками «Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды – как решать».

Есть другой способ решения?

Предложите другой способ решения задачи «Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды». Возможно, он окажется более понятным для кого-нибудь:

Комментировать
213 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
Adblock
detector