No Image

Установить какие кривые определяются следующими уравнениями

СОДЕРЖАНИЕ
2 просмотров
10 марта 2020

I. Установить, какие кривые определяются нижеследующими уравнениями. Построить чертеж.

4х 2 +9у 2 +16х-18у-119=0

Решение. Приведем к каноническому виду данные кривые:

Введем новую систему координат:

Это каноническое уравнение эллипса.

График приведен на рисунке 1.

II. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно вектору ВС.

Решение. ВС будет вектором нормали (т.е. вектором перпендикулярным плоскости), а уравнение имеет вид: a(х-х)+b(у-у)+c(z-z)=0 где a,b,c координаты вектора ВС (в нашем случае это (-4;1;4) ), а х,z координаты точки через которую походит плоскость, в нашем случае это точка А. Подставляем и получим:

Раскроем скобки и получим:

III. Найти угол между плоскостями.

Решение. Угол между плоскостями находится по формуле:

где А, В и С – направляющие вектора наших плоскостей. В нашем случае

Направляющие вектора будут: (1,2,2) и (2,-1,2). Тогда

Выполните над матрицами указанные действия: 2В-3АС

Решение. Будем выполнять действия по частям, сначала найдем 2В

Теперь найдем К=АС

Вычислим элементы матрицы |К|:

к1,1 = 4 * 1 + 6 * 1 + 5 * 1 = 4 + 6 + 5 = 15

к1,2 = 4 * 4 + 6 * 4 + 5 * 3 = 16 + 24 + 15 = 55

к1,3 = 4 * 3 + 6 * 2 + 5 * 1 = 12 + 12 + 5 = 29

к2,1 = 2 * 1 + 4 * 1 + 1 * 1 = 2 + 4 + 1 = 7

к2,2 = 2 * 4 + 4 * 4 + 1 * 3 = 8 + 16 + 3 = 27

к2,3 = 2 * 3 + 4 * 2 + 1 * 1 = 6 + 8 + 1 = 15

к3,1 = 2 * 1 + 1 * 1 + 0 * 1 = 2 + 1 + 0 = 3

к3,2 = 2 * 4 + 1 * 4 + 0 * 3 = 8 + 4 + 0 = 12

к3,3 = 2 * 3 + 1 * 2 + 0 * 1 = 6 + 2 + 0 = 8

Результирующая матрица |АС|:

II. Решить систему линейных уравнений:

  • – по формулам Крамера;
  • – матричным способом;
  • – методом Гаусса.

По формулах Крамера. Запишем систему в виде:

? = 3 * (-3 * 3-(-1 * 4))-2 * (1 * 3-(-1 * (-5)))+5 * (1 * 4-(-3 * (-5))) = -66 = -66

Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

Найдем определитель полученной матрицы.

Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

Найдем определитель полученной матрицы.

?2 = 3 * (-4 * 3-(-4 * 4))-2 * (-6 * 3-(-4 * (-5)))+5 * (-6 * 4-(-4 * (-5))) = -132

Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

Читайте также:  Как играть в овервотч бесплатно

Найдем определитель полученной матрицы.

Выпишем отдельно найденные переменные Х

Проверка.

Матричным способом. Запишем матрицу в виде:

В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач по аналитической геометрии на плоскости на тему Кривые второго порядка: приведение к каноническому виду, нахождение характеристик, построение графика т.п.

Кривые 2-го порядка: решения онлайн

Задача 1. Привести к каноническому виду уравнение кривой 2 порядка, найти все ее параметры, построить кривую.

Задача 2. Дана кривая. Привести к каноническому виду. Построить и определить вид кривой.

Задача 3. Выяснить вид кривой по общему уравнению, найти её параметры и положение в системе координат. Сделать рисунок.

Задача 4. Общее уравнение кривой второго порядка привести к каноническому. Найти координаты центра, координаты вершин и фокусов. Написать уравнения асимптот и директрис. Построить линии на графики, отметить точки.

Задача 5. Дана кривая $y^2+6x+6y+15=0$.
1. Докажите, что данная кривая – парабола.
2. Найдите координаты ее вершины.
3. Найдите значения ее параметра $р$.
4. Запишите уравнение ее оси симметрии.
5. Постройте данную параболу.

Задача 6. Дана кривая $5x^2+5y^2+6xy-16x-16y=16$.
1. Докажите, что эта кривая – эллипс.
2. Найдите координаты центра его симметрии.
3. Найдите его большую и малую полуоси.
4. Запишите уравнение фокальной оси.
5. Постройте данную кривую.

Задача 7. Найти уравнения параболы и её директрисы, если известно, что парабола имеет вершину в начале координат и симметрична относительно оси $Ox$ и что точка пересечения прямых $y=x$ и $x+y-2=0$ лежит на параболе.

Задача 8. Составить уравнение кривой, для каждой точки которой отношение расстояния до точки $F(0;10)$ к расстоянию до прямой $x=-4$ равно $sqrt<2/5>$. Привести это уравнение к каноническому виду и определить тип кривой.

Читайте также:  Топовые фото пацанов без лица

Задача 9. Даны уравнения асимптот гиперболы $y=pm 5x/12$ и координаты точки $M(24,5)$, лежащей на гиперболе. Составить уравнение гиперболы.

Задача 10. Даны уравнение параболы $y=1/4 x^2+1$ и точка $C(0;2)$, которая является центром окружности. Радиус окружности $r=5$.
Требуется найти
1) точки пересечения параболы с окружностью
2) составить уравнение касательной и нормали к параболе в точках её пересечения с окружностью
3) найти острые углы, образуемые кривыми в точках пересечения. Чертёж.

Пример . Дано уравнение кривой 3x 2 +10xy+3y 2 -2x-14y-13=0 в системе координат (0,i,j), где i =(1,0) и j =(0,1).
1. Определить тип кривой.
2. Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую в исходной системе координат.
3. Найти соответствующие преобразования координат.

Решение. Приводим квадратичную форму B=3x 2 +10xy+3y 2 к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы . Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы:

Характеристическое уравнение:
; λ1=-2, λ2=8. Вид квадратичной формы: .
Исходное уравнение определяет гиперболу.
Заметим, что вид квадратичной формы неоднозначен. Можно записать 8x1 2 -2y1 2 , однако тип кривой остался тот же – гипербола.
Находим главные оси квадратичной формы, то есть собственные векторы матрицы B. .
Собственный вектор, отвечающий числу λ=-2 при x1=1: x 1=(1,-1).
В качестве единичного собственного вектора принимаем вектор , где – длина вектора x 1.
Координаты второго собственного вектора, соответствующего второму собственному числу λ=8, находим из системы
.
x 2=(1,1); .
Итак, имеем новый ортонормированный базис ( i 1, j 1).
По формулам (5) пункта 4.3.3. переходим к новому базису:
или

Задание. Привести к каноническому виду уравнение линии 17x 2 + 12xy + 8y 2 – 20 = 0.
Решение.Пример 2

Задание. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм и определить её вид. Уравнение кривой второго порядка путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Решение

Читайте также:  Как определить знак энтропии без расчетов

Задание. Привести уравнение к каноническому виду: 16x 2 – 9y 2 -64x – 8y +199 = 0.
Решение.Скачать решение

Задание. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, и найти координаты ее центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис. Изобразить гиперболу на чертеже, указав фокусы, асимптоты и директрисы.
Решение:Скачать решение

Задание. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти координаты его центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения директрис. Изобразить эллипс на чертеже, указав оси симметрии, фокусы и директрисы.
Решение:Скачать решение

Комментировать
2 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
Adblock detector