No Image

Уравнение динамики гармонических колебаний

1 просмотров
10 марта 2020

Для определения характера движения механической системы нужно, исходя из законов динамики или закона сохранения энергии, составить уравнение движения системы, и если оно приводится к виду (7), то можно однозначно утверждать, что данная система является гармоническим осциллятором, часто­та ω которого равна корню квадратному из коэффициента при х. Рассмотрим несколько примеров с маятниками и затем обобщим получен­ные результаты.

Всякое твердое тело, колеблющееся под действием силы тяжести вокруг неподвижной точки или оси, называют маятником.

Грузик на пружине. Пусть грузик массы т, подвешенный на невесомой пружине жесткости k, совершает вер­тикальные колебания (рис. 2). Возьмем нача­ло О оси X в

положении равновесия, где , – растяжение пружины в этом по­ложении. Тогда, согласно основному уравнению динамики, , или

.

Из сопоставления с (7) видим, что это урав­нение гармонического осциллятора, колеблю­щегося около положения равновесия с частотой ω и периодом Т,равными

, . (10)

Период колебаний Т не зависит от амплитуды а. Это свойство называется изохронностью колебаний. Изохронность, однако имеет место до тех пор, пока справедлив закон Гука. При больших растяжениях закон Гука нарушается. Тогда и колебания перестают быть изохронными, т. е. появляется зависимость периода колебаний от амплитуды.

Математический маятник. Материальная точка массы т, подвешенная на невесомой и нерастяжимой нити длиной l, совершает коле­бания в вертикальной плоскости (рис. 3). Здесь удобнее всего использовать уравнение динамики в проекции на орт τ, направление которого совпадает с положительным направлени­ем отсчета дуговой координаты s (величина алгебраическая, на рисунке изображен момент, когда s > 0). Начало отсчета s возь­мем в положении равновесия – в точке О. мея в виду, что , и что про­екция силы натяжения , запишем: ,или

.

Из сопоставления с (7) видим, что это уравнение, вообще говоря, не является уравнением гармонического осциллятора, поскольку в нем вместо смещения θ стоит . Однако при малых колебаниях, когда , уравнение совпадает с (7):

,

откуда следует, что частота ω и период Т математического ма­ятника, совершающего малые колебания, равны

, . (11)

Физический, маятник. Это твердое тело, совершающее коле­бания вокруг неподвижной оси, жестко свя­занной с телом. Рассмотрим колебания под действием силы тяжести (рис. 4). Выберем положительное направление отсчета угла θ против часовой стрелки (ось Z направлена к нам). Тогда проекция момента силы тяже­сти на ось Z запишется как и уравнение динамики вращательного дви­жения твердого тела примет вид

,

где I — момент инерции тела относительно оси О, l — расстоя­ние между осью О и центром масс С. Ограничимся рассмотре­нием малых колебаний, при которых . При этом усло­вии предыдущее уравнение можно записать так:

Читайте также:  Как напечатать постер на нескольких листах а4

.

Колебания будут гармоническими с частотой ω и периодом Т, равными

, . (12)

Такую же частоту и период имеет математический маятник длины

, (13)

которую называют приведенной длиной физического маятника.

Точку О’ (4), которая находится на прямой, проходя­щей через точку подвеса О и центр масс С, и отстоит от точки О на расстоянии ,называют центром качания физического ма­ятника. Центр качания О’ обладает замечательным свойством: если маятник перевернуть и заставить совершать малые коле­бания вокруг оси О’, то период колебаний не изменится. На этом свойстве основано определение ускорения свободного па­дения с помощью оборотного маятника: экспериментально устанавливают положения двух «сопряженных» точек (осей) О и О’, малые колебания вокруг которых происходят с одинако­вой частотой. Это значит, что расстояние ОО’ = . Определив ω и , из формулы (14)

Рассмотренные примеры относятся к сво­бодным колебаниям без трения, которые происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как она была тем или иным способом выведена из состояния равновесия. Можно утверждать, что свободные колебания любого осциллятора в от­сутствие трения будут гармоническими, если действующая в нем сила (или момент силы) является квазиупругой, т. е. си­лой, направленной к положению равновесия и зависящей от смещения из этого положения линейно.

Именно квазиупругий характер силы (или момента силы) служит и критерием малых колебаний.

Кроме того, частота и период свободных колебаний без тре­ния зависят только от свойств самого осциллятора в отличие от амплитуды колебаний и начальной фазы, которые определяют­ся начальными условиями.

В данной работе колебания физического и математического маятников можно считать свободными, если угол их отклонения от положения равновесия будет менее 10º.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: При сдаче лабораторной работы, студент делает вид, что все знает; преподаватель делает вид, что верит ему. 9529 – | 7348 – или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Второй закон Ньютона позволяет в общем виде записать связь между силой и ускорением при прямолинейных гармонических колебаниях материальной точки (или тела) с массой т.

Исходя из второго закона Ньютона (F = та) можно записать

где F — проекция силы на направление х. Из этого выражения следует, что сила Fx пропорциональна х и всегда направлена к положению равновесия (поэтому ее и называют возвращающей силой). Период и фаза силы совпадают с периодом и фазой ускорения.

Читайте также:  Бинокль брессер 70х70 отзывы

Примером сил, удовлетворяющих уравнению (2.1.11), являются упругие силы. Силы же, имеющие иную природу, но удовлетворяющие уравнению (2.1.11), называются квазиупругими. Квазиупругая сила

где к — коэффициент квазиупругой силы.

Сравнивая уравнения (2.1.11) и (2.1.12), видим, что

В случае прямолинейных колебаний вдоль оси х проекция ускорения на эту ось

Подставив выражения для ах и F во второй закон Ньютона, получим основное уравнение динамики гармонических колебаний, вызываемых упругими или квазиупругими силами:

Решением этого уравнения всегда будет выражение вида

т.е. смещение груза под действием упругой или квазиупругой силы является гармоническим колебанием, происходящим по синусоидальному закону.

Круговая частота незатухающих колебаний но так как

откуда период колебаний

Из формулы (2.1.14) видно, что чем больше жесткость пружины к, тем меньше период (больше частота), а чем больше масса, тем период колебаний больше.

Понятие о колебаниях.

Основное уравнение динамики гармонических колебаний.

Гармонические осцилляторы.

Сложение гармонических колебаний.

Влияние внешних сил на колебательные процессы.

Понятие о колебаниях.

П.1. Основные понятия.

Колебания — процессы, обладающие повторяемостью.

Пример:

Тело на пружине; тело в поле силы тяжести; тело в потоке жидкости или газа.

Период– время одного полного колебания.

Периодические колебания —если система приходит в исходное состояние или подобное ему через равные промежутки времени. Эти промежутки времени называются периодами: [ Т ] = с.

Частотаколебаний определяет число полных колебаний в единицу времени:

[ ] = c -1 = Гц

Амплитуда колебаний максимальное отклонение колебательной системы от положения равновесия: [A] = м.

В общем случае физическая величина x с течением времени изменяется по какому-либо закону x(t), если она изменяется по закону sin или cos, то такие колебания называются – гармоническими колебаниями.

Закон гармонических колебаний:

где x(t) — смещение системы от положения равновесия в момент времени t;

ω — циклическая частота колебаний;

φ — начальная фаза колебаний;

φ(t) = (φt + φ) — фаза колебаний.

Гармонические колебания являются периодическими.

ωT = 2π => .

График гармонического колебания:

П.2. Скорость и ускорения при колебаниях.

при .

Скорость также изменяется по гармоническому закону и отстаёт от координат по фазе на .

при .

Ускорение отстаёт от координаты при колебаниях по фазе на π.

П.3. Энергия гармонических колебаний.

Вычислим энергию тела массой m, совершающего гармонические колебания с амплитудой А и круговой частотой ω:

Читайте также:  Посмотреть участок на карте со спутника

Потенциальная энергия П тела, смещенного на расстояние х от положения равновесия, измеряется той работой, которую произведет возвращающая сила Fx = −kx, перемещая тело в положение равновесия.

Кинетическая энергия К

сложив почленно оба уравнения, получим выражение для полной энергии:

Т.о. полная механическая энергия гармонически колеблющегося тела пропорциональна квадрату амплитуды колебания.

Гармонические осцилляторы.

П.1. Пружинный маятник.

Пружинный маятник – это груз массой m, подвешенный на абсолютно упругой пружине с жесткостью k, совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F = − kx.

Уравнение движения маятника:

Решением этого уравнения всегда будет выражение вида: .

П.3. Физический маятник.

Физический маятникэто твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс С.

При отклонении этого тела от положения равновесия на угол α также возникает вращающий момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия:

где l – расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника С.

Обозначим через J момент инерции маятника:

Его решение имеет вид: , где

Из формулы следует, что физический маятник при малых отклонениях также совершает гармонические колебания, частота которых зависит от массы и момента инерции маятника.

Аналогично периоду математического маятника получим:

Величину момента инерции J иногда бывает трудно вычислить.

Сопоставляя и получим, что физический маятник с длиной будет иметь такой же период колебаний, как и математический:

где приведенная длина физического маятникаэто длина такого математического маятника, период колебания которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.

Точка O’ на продолжении прямой ОС, отстоящая от точки подвеса О на расстоянии приведенной длины , называется центром качаний физического маятника. Применяя теорему Штейнера, получим:

т.е. всегда больше . Точки О и О’ всегда будут лежать по обе стороны от точки С.

Точка подвеса О маятника и центр качаний O’ обладают свойством взаимозаменяемости: если маятник перевернуть и подвесить за точку О’, то прежняя точка О станет центром качаний и период колебаний физического маятника не изменится.

На этом свойстве основано определение ускорения силы тяжести g с помощью так называемого оборотного маятника. Это такой маятник, у которого имеются две точки подвеса и два груза, которые могут перемещаться вдоль оси маятника. Перемещением грузов добиваются того, что расстояние между точками подвеса будет соответствовать . Тогда, измерив период Т и , легко рассчитать g по .

Понятие о колебаниях.

Основное уравнение динамики гармонических колебаний.

Гармонические осцилляторы.

Комментировать
1 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
Adblock detector