No Image

Умножение матриц строка на столбец

СОДЕРЖАНИЕ
8 просмотров
10 марта 2020

Используя этот онлайн калькулятор для умножения матриц, вы сможете очень просто и быстро найти произведение двух матриц.

Воспользовавшись онлайн калькулятором для умножения матриц, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения таких задач, а также закрепить пройденный материал.

Умножение матриц онлайн

Выберите необходимый вам размер матриц:

Введите значения Матриц:

Ввод данных в калькулятор для умножения матриц

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора для умножения матриц

  • Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши , , и на клавиатуре.

Теория. Умножение матриц.

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Чтобы можно было умножить две матрицы, количество столбцов первой матрицы должно быть равно количеству строк второй матрицы.

Алгоритм умножения матриц

Умножаем элементы в строках первой матрицы на элементы в столбцах второй матрицы.

  1. Умножаем элементы первой строки на элементы первого столбца.
    • Умножаем первый элемент первой строки на первый элемент первого столбца.
    • Умножаем второй элемент первой строки на второй элемент первого столбца.
    • Делаем то же самое с каждым элементом, пока не дойдем до конца как первой строки первой матрицы, так и первого столбца второй матрицы.
    • Складываем полученные произведения.
    • Полученный результат будет первым элементом первой строки произведения матриц.
    • Умножаем элементы первой строки первой матрицы на элементы второго столбца второй матрицы.
      • Умножаем первый элемент первой строки на первый элемент второго столбца.
      • Умножаем второй элемент первой строки на второй элемент второго столбца.
      • Делаем то же самое с каждым элементом, пока не дойдем до конца как первой строки первой матрицы, так и второго столбца второй матрицы.
      • Складываем полученные произведения.
      • Полученный результат будет вторым элементом первой строки произведения матриц.
      • Применяя тот же самый алгоритм, умножаем элементы первой строки первой матрицы на элементы остальных столбцов второй матрицы. Полученные числа составят первую строку вычисляемой матрицы.
      • Вторая строка вычисляемой матрицы находится аналогично умножением элементов второй строки первой матрицы на элементы каждого столбца второй матрицы: результаты записываются в новую матрицу после каждого суммирования.
      • Делаем это с каждой строкой первой матрицы, пока все строки новой матрицы не будут заполнены.

      Пример 7
      $A= egin 1 & 2 & 2\ 3 & 1 & 1 end$
      $B=egin
      4 & 2 \ 3 & 1 \ 1 & 5\ end$

      Заметим, что матрица A имеет 3 столбца, а матрица B имеет 3 строки, значит, их можно перемножить.

      $B cdot A = egin color4 &color2 \ color3 & color1 \ color1 & color5 end egin color1 &color2 & color2\ color3 &color1 & color1 end=$

      Читайте также:  Что такое game pass

      Заметим, что $A cdot B
      eq B cdot A$

      Пример 8
      $A= egin 5 & 2 \ 3 & 1 end B= egin 4 & 6 \ 5 & 2 end$

      Опять-таки $A cdot B
      eq B cdot A$.

      Пример 9
      $A= egin 1 & 4 & 3 \ 2 & 1 & 5\ 3 & 2 & 1 end B= egin 5 & 2 & 1 \ 4 & 3 & 2 \ 2 & 1 & 5 end$

      Опять-таки $A cdot B
      eq B cdot A$.

      Заметим, что $A cdot I_ <2>= I_ <2>cdot A=A$.

      Пример 11
      $A=egin 1 & 4 & 3 \ 2 & 1 & 5\ 3 & 2 & 1 end I_<3>= egin 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 end$

      Опять-таки $A cdot I_ <3>= I_ <3>cdot A = A$.

      Примечание:

      1. В общем случае умножение матриц некоммуникативно.
      2. $Acdot I_ = I_ cdot A = A$ для любой матрицы A, имеющей n столбцов.

      Данное методическое пособие поможет Вам научиться выполнять действия с матрицами: сложение (вычитание) матриц, транспонирование матрицы, умножение матриц, нахождение обратной матрицы. Весь материал изложен в простой и доступной форме, приведены соответствующие примеры, таким образом, даже неподготовленный человек сможет научиться выполнять действия с матрицами. Для самоконтроля и самопроверки Вы можете бесплатно скачать матричный калькулятор >>>.

      Я буду стараться минимизировать теоретические выкладки, кое-где возможны объяснения «на пальцах» и использование ненаучных терминов. Любители основательной теории, пожалуйста, не занимайтесь критикой, наша задача – научиться выполнять действия с матрицами.

      Для СВЕРХБЫСТРОЙ подготовки по теме (у кого «горит») есть интенсивный pdf-курс Матрица, определитель и зачёт!

      Матрица – это прямоугольная таблица каких-либо элементов. В качестве элементов мы будем рассматривать числа, то есть числовые матрицы. ЭЛЕМЕНТ – это термин. Термин желательно запомнить, он будет часто встречаться, не случайно я использовал для его выделения жирный шрифт.

      Обозначение: матрицы обычно обозначают прописными латинскими буквами

      Пример: рассмотрим матрицу «два на три»:

      Данная матрица состоит из шести элементов:

      Все числа (элементы) внутри матрицы существуют сами по себе, то есть ни о каком вычитании речи не идет:

      Это просто таблица (набор) чисел!

      Также договоримся не переставлять числа, если иного не сказано в объяснениях. У каждого числа свое местоположение, и перетасовывать их нельзя!

      Рассматриваемая матрица имеет две строки:

      и три столбца:

      СТАНДАРТ: когда говорят о размерах матрицы, то сначала указывают количество строк, а только потом – количество столбцов. Мы только что разобрали по косточкам матрицу «два на три».

      Если количество строк и столбцов матрицы совпадает, то матрицу называют квадратной, например: – матрица «три на три».

      Если в матрице один столбец или одна строка , то такие матрицы также называют векторами.

      На самом деле понятие матрицы мы знаем еще со школы, рассмотрим, например точку с координатами «икс» и «игрек»: . По существу, координаты точки записаны в матрицу «один на два». Кстати, вот Вам и пример, почему порядок чисел имеет значение: и – это две совершенно разные точки плоскости.

      Читайте также:  Как включить геолокацию на компьютере

      Теперь переходим непосредственно к изучению действий с матрицами:

      1) Действие первое. Вынесение минуса из матрицы (внесение минуса в матрицу).

      Вернемся к нашей матрице . Как вы наверняка заметили, в данной матрице слишком много отрицательных чисел. Это очень неудобно с точки зрения выполнения различных действий с матрицей, неудобно писать столько минусов, да и просто в оформлении некрасиво выглядит.

      Вынесем минус за пределы матрицы, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак:

      У нуля, как Вы понимаете, знак не меняется, ноль – он и в Африке ноль.

      Обратный пример: . Выглядит безобразно.

      Внесем минус в матрицу, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак:

      Ну вот, гораздо симпатичнее получилось. И, самое главное, выполнять какие-либо действия с матрицей будет ПРОЩЕ. Потому что есть такая математическая народная примета: чем больше минусов – тем больше путаницы и ошибок.

      2) Действие второе. Умножение матрицы на число.

      Всё просто, для того чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на данное число. В данном случае – на тройку.

      Еще один полезный пример:

      – умножение матрицы на дробь

      Сначала рассмотрим то, чего делать НЕ НАДО:

      Вносить дробь в матрицу НЕ НУЖНО, во-первых, это только затрудняет дальнейшие действия с матрицей, во-вторых, затрудняет проверку решения преподавателем (особенно, если – окончательный ответ задания).

      И, тем более, НЕ НАДО делить каждый элемент матрицы на минус семь:

      Из статьи Математика для чайников или с чего начать, мы помним, что десятичных дробей с запятой в высшей математике стараются всячески избегать.

      Единственное, что желательно сделать в этом примере – это внести минус в матрицу:

      А вот если бы ВСЕ элементы матрицы делились на 7 без остатка, то тогда можно (и нужно!) было бы поделить.

      В этом случае можно и НУЖНО умножить все элементы матрицы на , так как все числа матрицы делятся на 2 без остатка.

      Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «деление» нет. Вместо фразы «это поделить на это» всегда можно сказать «это умножить на дробь». То есть, деление – это частный случай умножения.

      3) Действие третье. Транспонирование матрицы.

      Для того чтобы транспонировать матрицу, нужно ее строки записать в столбцы транспонированной матрицы.

      Транспонировать матрицу

      Строка здесь всего одна и, согласно правилу, её нужно записать в столбец:

      – транспонированная матрица.

      Транспонированная матрица обычно обозначается надстрочным индексом или штрихом справа вверху.

      Транспонировать матрицу

      Сначала переписываем первую строку в первый столбец:

      Потом переписываем вторую строку во второй столбец:

      И, наконец, переписываем третью строку в третий столбец:

      Готово. Грубо говоря, транспонировать – это значит повернуть матрицу набок.

      4) Действие четвертое. Сумма (разность) матриц.

      Сумма матриц действие несложное.
      НЕ ВСЕ МАТРИЦЫ МОЖНО СКЛАДЫВАТЬ. Для выполнения сложения (вычитания) матриц, необходимо, чтобы они были ОДИНАКОВЫМИ ПО РАЗМЕРУ.

      Читайте также:  Cmd удаление старых файлов

      Например, если дана матрица «два на два», то ее можно складывать только с матрицей «два на два» и никакой другой!

      Сложить матрицы и

      Для того чтобы сложить матрицы, необходимо сложить их соответствующие элементы:

      Для разности матриц правило аналогичное, необходимо найти разность соответствующих элементов.

      Найти разность матриц ,

      А как решить данный пример проще, чтобы не запутаться? Целесообразно избавиться от лишних минусов, для этого внесем минус в матрицу :

      Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «вычитание» нет. Вместо фразы «из этого вычесть это» всегда можно сказать «к этому прибавить отрицательное число». То есть, вычитание – это частный случай сложения.

      5) Действие пятое. Умножение матриц.

      Чем дальше в лес, тем толще партизаны. Скажу сразу, правило умножения матриц выглядит очень странно, и объяснить его не так-то просто, но я все-таки постараюсь это сделать, используя конкретные примеры.

      Какие матрицы можно умножать?

      Чтобы матрицу можно было умножить на матрицу нужно, чтобы число столбцов матрицы равнялось числу строк матрицы .

      Пример:
      Можно ли умножить матрицу на матрицу ?

      , значит, умножать данные матрицы можно.

      А вот если матрицы переставить местами, то, в данном случае, умножение уже невозможно!

      , следовательно, выполнить умножение невозможно:

      Не так уж редко встречаются задания с подвохом, когда студенту предлагается умножить матрицы, умножение которых заведомо невозможно.

      Следует отметить, что в ряде случаев можно умножать матрицы и так, и так.
      Например, для матриц, и возможно как умножение , так и умножение

      Как умножить матрицы?

      Умножение матриц лучше объяснить на конкретных примерах, так как строгое определение введет в замешательство (или помешательство) большинство читателей.

      Начнем с самого простого:

      Умножить матрицу на матрицу
      Я буду сразу приводить формулу для каждого случая:

      – попытайтесь сразу уловить закономерность.

      Умножить матрицу на матрицу

      Формула:

      В результате получена так называемая нулевая матрица.

      Попробуйте самостоятельно выполнить умножение (правильный ответ ).

      Обратите внимание, что ! Это почти всегда так!

      Таким образом, при умножении переставлять матрицы нельзя!

      Если в задании предложено умножить матрицу на матрицу , то и умножать нужно именно в таком порядке. Ни в коем случае не наоборот.

      Переходим к матрицам третьего порядка:

      Умножить матрицу на матрицу

      Формула очень похожа на предыдущие формулы:

      А теперь попробуйте самостоятельно разобраться в умножении следующих матриц:

      Умножьте матрицу на матрицу

      Вот готовое решение, но постарайтесь сначала в него не заглядывать!

      Данная тема достаточно обширна, и я вынес этот пункт на отдельную страницу.

      А пока спектакль закончен.

      После освоения начального уровня рекомендую отработать действия с матрицами на уроке Свойства операций над матрицами. Матричные выражения.

      Автор: Емелин Александр

      (Переход на главную страницу)

      Профессиональная помощь по любому предмету – Zaochnik.com

      Комментировать
      8 просмотров
      Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

      Это интересно
      No Image Компьютеры
      0 комментариев
      No Image Компьютеры
      0 комментариев
      No Image Компьютеры
      0 комментариев
      No Image Компьютеры
      0 комментариев
      Adblock detector