No Image

Теорема чебышева интеграл доказательство

СОДЕРЖАНИЕ
1 945 просмотров
10 марта 2020

Применяемые подстановки

Рассмотрим интеграл:
,
где m, n, p – рациональные числа, a, b – действительные числа.
Подынтегральное выражение называется дифференциальным биномом. Интеграл от него сводится к интегралам от рациональных функций в трех случаях.

1) Если p – целое, то выполняется подстановка x = t N , где N – общий знаменатель дробей m и n .
2) Если – целое, то подстановка a x n + b = t M , где M – знаменатель числа p .
3) Если – целое, подстановка a + b x – n = t M , где M – знаменатель числа p .

Если ни одно из трех чисел не является целым числом, то по теореме Чебышева интегралы данного вида не могут быть выражены конечной комбинацией элементарных функций.

Формулы приведения (понижения или повышения показателей степеней)

В ряде случаев, сначала бывает полезным привести интеграл к более удобным значениям показателей степеней m и p . Это можно сделать с помощью формул приведения:
;
.

Доказательство формул приведения

Доказательство первой формулы

Докажем первую формулу:

Выполняем преобразования.

Интегрируем по частям, умножив на na ( p+ 1) .
u = x m–n+ 1 , v = ( ax n + b ) p+ 1 , du = ( x m–n+ 1 )′ dx = ( m–n+ 1) x m–n dx .

Преобразуем оставшийся интеграл.

Подставляем.

Отсюда

Или
.

Доказательство второй формулы

Докажем вторую формулу:
.

Выполняем преобразования.

Интегрируем по частям, умножив на m + 1 .
u = ( ax n + b ) p , v = x m+ 1 ,

Преобразуем оставшийся интеграл.

Подставляем.

Отсюда
.

Пример

Преобразуем.

Это интеграл от дифференциального бинома

со значениями m = 1/3 , p = 1/3 , n = 2 , a = – 1 , b = 1 .
Поскольку
– целое, то интеграл сводится к интегралу от рациональной функции третьей подстановкой:
– 1 + x – 2 = t 3 .

Возьмем дифференциал от обеих частей этого равенства.

Подставляем

Интегрируем по частям.

Разложим дробь на простейшие.

Выделим в числителе второй дроби производную знаменателя и преобразуем знаменатель.
( t 2 – t + 1)′ = 2 t – 1

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 05-12-2014

Интервал от дифференциального бинома (биномиального дифференциала)

Читайте также:  Тепловентилятор для ванной комнаты

∫ x m ( a + bx n ) p dx .

( a и b — любые постоянные, а m , n и p — рациональные числа) был исчерпывающе исследован П.Л. Чебышевым. Он установил, что этот интеграл вычисляется в конечном виде тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих условий:

2. — целое

3. — целое

Подстановки Чебышева

Пусть дан интеграл вида: I = ∫ x m ( a + bx n ) p dx .

1. p ∈ Z , x = t r , где r — наименьшее кратное знаменателей дробей m и n .

Пример

I = ∫ x 3/2 (1 + 4 x 1/3 ) 2 dx .

Делаем замену x = t 6 .

I = ∫ t 9 (1 + 4 t 2 ) 2 6 t 5 dt = 6 ∫ t 14 (1 + 4 t 2 ) 2 dt .

Полагая , сведем дело к нахождению интеграла

Этот последний интеграл можно преобразовать к такому же интегралу, но с меньшим значком. Именно,

Полагая [откуда ] и интегрируя по частям, находим

Повторно применяя эту формулу, сведем дело к нахождению интеграла

Приведенный способ доказательства теоремы является в то же время и способом фактического вычисления интегралов от функций вида (5), но на практике обычно применяются более удобные способы интегрирования, наиболее важный из которых принадлежит М. В. Остроградскому.

Что касается иррациональный функций, то вопрос об их интегрировании в элементарных функциях гораздо более сложен. Укажем, например, на следующий результат по поводу интегрирования так называемых "биномиальных дифференциалов".

Теорема П. Л. Чебышева. Интеграл

при рациональных m, n и p выражается элементарно только в трех случаях:

1) p – целое, 2) – целое, 3) – целое.

Комментировать
1 945 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
Adblock
detector