No Image

Свойства модуля комплексного числа включают

590 просмотров
10 марта 2020

Свойства модуля и аргумента комплексного числа:

Модуль числа, сопряженного числу $z$ равен модулю самого комплексного числа $z$.

2°. $z cdot ar z = |z|^2$

Произведение комплексного числа на сопряжённое ему равно квадрату модуля этого комплексного числа.

3°. $mathrm ar z = -mathrm z$, $(mathrm z
e pi)$

Аргумент числа, сопряжённого комплексному числу $z$ равен отрицательному аргументу комплексного числа $z$.

Модуль комплексного числа больше либо равен наибольшему из модулей его действительной и мнимой части и не превосходит суммы этих модулей.

5°. $|z_1| – |z_2| le |z_1 + z_2| le |z_1| + |z_2|$

Модуль суммы двух комплексных чисел больше либо равен разности модулей этих чисел и меньше либо равен сумме модулей этих чисел.

6°. $|z_1 cdot z_2| = |z_1| cdot |z_2|$, $mathrm (z_1 cdot z_2) = mathrm z_1 + mathrm z_2$

Модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей этих комплексных чисел, при этом аргумент произведения этих двух чисел равен сумме аргументов этих чисел.

7°. $left| frac
ight| = frac<|z_1|><|z_2|>$, $mathrm left( frac

ight) = mathrm z_1 – mathrm z_2$

Модуль частного двух комплексных чисел равен частности модулей этих комплексных чисел, при этом аргумент частности этих двух чисел равен разности аргументов этих чисел.

8°. $left| z^n
ight| = |z|^n$, $mathrm left( z^n
ight) = n cdot mathrm
z$

Аргумент комплексного числа $z$ в $n$-ой степени равен произведению показателя степени $n$ на аргумент комплексного числа.

9°. $left| sqrt[n]
ight| = sqrt[n]<|z|>$, $mathrm left( sqrt[n]

ight) = frac <mathrmz>$.

Модуль корня n-ой степени комплексного числа z равен частномум аргумента комплексного числа и показателя степени $n$.

Теорема. Множество комплексных чисел $C$ есть метрическое пространство с метрикой $p(z_1, z_2) = |z_1 – z_2|$.

Следствие. Для множества комлексных чисел $C$ можно ввести все понятия, характерные для метрических пространств:

Обобщая сформулированные выше результаты, получаем следующие свойства модуля:

2. zÎR Þ êzêсовпадает с абсолютной величиной действительного числа

4.

6. ïz1ï-ïz2ï ïz1+z2ï ïz1ï+ïz2ï

Последнее свойство справедливо, поскольку служит арифметическим выражением неравенства треугольника, записанного для векторов z1, z2, z1+z2.

1.11. Извлечение корня из комплексного числа

Определение. Корнем n-й степени из комплексного числа называется такое комплексное число, n-я степень которого равна подкоренному числу: , W n =z.

Таким образом, равенство:

Но у равных комплексных чисел модули должны быть равны, и аргументы могут отличаться лишь кратным 2p, т.е. r n =r, ny=j+2pk,

где есть арифметическое значение корня и k – любое целое число. Таким образом, получаем:

(*)

т.е. для извлечения корня из комплексного числа надо извлечь корень из его модуля, а аргумент разделить на показатель корня.
В формуле (*) число k может принимать всевозможные целые значения; однако различных значений корня будет только n, и они будут соответствовать значениям:

k=0, 1, 2, . (n-1) (**)

Чтобы доказать это, заметим, что правые части в формуле (*) будут различными при двух различных значениях k=k1 и k=k2 тогда, когда аргументы и отличаются не кратным 2p, и будут одинаковыми, если указанные аргументы отличаются кратным 2p. Но разность (k1-k2) двух чисел из ряда (**) по абсолютному значению меньше n, а потому разность не может быть кратна 2p, т.е. n значениям k из ряда (**) соответствуют n различных значений корня.

Читайте также:  Как включить airdrop на mac

Пусть теперь k2 – целое число (положительное или отрицательное), не заключающееся в ряде (**). Мы можем представить его в виде:

где q – целое число и k1 – любое число из ряда (**), а потому

т.е. значению k2 соответствует то же значение корня, что и значению k1, заключающемуся в ряде (**).

Итак, корень n-й степени из комплексного числа имеет n различных значений.

Исключение из этого правила представляет лишь частный случай, когда подкоренное число равно нулю, т.е. r=0. В этом случае все указанные выше значения корня равны нулю.

1.12. Показательная форма комплексного числа

Обобщим понятие о показательной функции на случай любого комплексного показателя. При вещественном показателе функция e x может быть представлена в виде ряда:

Определим аналогичным рядом показательную функцию и в случае чисто мнимого показателя, т.е. положим:

Отделяя вещественные и мнимые члены, имеем отсюда:

откуда, вспомнив разложения cosy и siny в ряд, определяем:

e yi =cosy+i× siny (1)

Эта формула и определяет показательную функцию при чисто мнимом показателе. Заменяя y на (-y):

eyi =cosyi× siny (2)

и решая уравнения (1) и (2) относительно cosy и siny, получим формулы Эйлера, выражающие тригонометрические функции через показательные с чисто мнимым показателем:

, (3)

Формула (1) дает новую показательную форму комплексного числа, имеющего модуль r и аргумент j:

Показательную функцию при любом комплексном показателе x+yi определяем формулой:

e x+yi =e x e yi =e x (cosy+i×siny) (4)

т.е. модуль числа e x+yi будем считать равным e x , а аргумент равным y.

Нетрудно обобщить на случай комплексных показателей правило сложения показателей при умножении. Пусть z=x+yi и w=s+ti. Тогда

Но выражение, стоящее в правой части этого равенства, согласно определению (4), представляет собою:

Правило вычитания показателей при делении:

может быть непосредственно проверено путем умножения частного на делитель. В случае натурального n будем иметь:

(e z ) n =e z ×e z ×. ×e z =e nz

Пример. Записать число в показательной форме.

Решение. Здесь

Следовательно, показательная форма числа имеет вид .

1.13. Другие арифметики для чисел а+bi

Постановка задачи. Итак, мы построили числовую систему из выражений вида a+bi, определив сложение и умножение таких выражений по формулам

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)I (1)
(а+bi)(с+di)=(ас-bd)+(ad+bс) (2)

Что касается формулы (1), то она представляется вполне естественно. Напротив, вид формулы (2) не вызывает такого ощущения. Посмотрим, нельзя ли из тех же выражений а+bi получить достаточно разумную числовую систему, сохранив правило сложения (1), но заменив (2) каким-либо новым законом умножения. Как мог бы выглядеть этот новый закон? В значительной мере это зависит от того, какими свойствами мы хотим наделить новое умножение. Скажем, было бы нелепо ввести его формулой (a+bi)(c+di)=ac 2 +bdi, ибо тогда, например, при b=0, d=0 мы получили бы довольно странное равенство ас=ас 2 .

Укажем те требования, которые мы собираемся предъявить к новому умножению:

1) Умножение действительного числа а, рассматриваемого как элемент новой числовой системы (а=а+0i), на произвольное число z=b+ci должно давать тот же результат, что и в случае комплексных чисел, т. е

Читайте также:  Как изменить толщину контура в фотошопе

В частности, это означает, что для действительных чисел новое умножение должно совпадать с обычным:

Поскольку то же самое верно и в отношении сложения (из (1) следует (a+0i)+(b+0i)=(a+b)+0i), то, тем самым действительные числа включаются в новую числовую систему с их естественной арифметикой.

2) Должно выполняться равенство

где а и b – любые действительные числа. Например, (2i)(3i)=6i 2 .

3) Как для первого сомножителя, так и для второго должно выполняться свойство распределительности, связывающее умножение со сложением:

Конечно, эти требования еще не позволяют написать до конца новый закон умножения, но все же из них следует многое. А именно,

Теперь, чтобы написать результат, остается только указать, чему равно i 2 . Приняв i 2 =-1, приходим к умножению комплексных чисел. Но это — отнюдь не единственная возможность. В принципе ведь нужно лишь, чтобы произведение ii принадлежало рассматриваемой нами системе чисел, т. е. было числом вида р+qi. Задав р и q, мы окончательно устанавливаем вид закона умножения:

(a+bi)(c+di)=(ac+bdp)+(ad+bc+bdq)i. (3)

Предмет нашего изучения, таким образом, определился. Теперь можно забыть о «наводящих» соображениях, которые привели нас к формуле (3), и просто сказать, что рассматривается система чисел вида а+bi с законом сложения (1) и законом умножения (3), где р и q — два фиксированных действительных числа (определяющих собой, так сказать, «арифметику» данной системы чисел).

Внимательно рассмотрев формулу (3), мы довольно легко убеждаемся, что новое умножение обладает переместительным свойством:

— довольно неожиданный результат, если учесть, что среди требований, предъявленных к умножению, такого свойства не было! Выполняется и сочетательное свойство ((z1z2)z3=z1(z2z3)), хотя проверка этого факта требует несколько большего терпения. Имеем

сравнивая результаты обоих вычислений, легко убедиться в их тождественности.

Сведение к трем системам. Может показаться, что мы нашли бесчисленное множество числовых систем, поскольку в формулу (3) входят два произвольных действительных числа р и q. Но это не совсем так. Сейчас мы увидим, что любая система сводится к одной из трех:

I) числа a+bi, где i 2 =-1. (комплексные числа);

II) числа a+bi, где i 2 =1 (так называемые двойные числа);

III) числа а+bi, где i 2 =0 (так называемые дуальные числа).

Сведение любого, случая к одному из этих трех осуществляется следующим образом.

Из равенства i 2 =p+qi вытекает i 2 -qi=р или:

(i-q/2) 2 =p+q 4 /4 (4)

Возможны три случая:

1) p+q 2 /4 – отрицательное число, т.е. p+q 2 /4=-k 2 , где k – некоторое отличное от нуля действительное число. Тогда (i-q/2) 2 =-k 2 , т.е.

(-q/2k+(1/k)i) 2 =-1 (5)

Обозначив число, стоящее в скобках, через j, будем иметь j 2 =-1

При этом i=q/2+kj, так что любое число a+bi может быть записано в виде:

иначе говоря, число a+bi допускает представление в виде a’+b’j, где j 2 =-1. Это означает, что фактически мы имеем дело с комплексными числами.

2) p+q 2 /4—положительное число, т, е. p+q 2 /4=k 2 (k¹0).

Тогда вместо (5) получим

Обозначив на этот раз число, стоящее в скобках, через Е, будем иметь E 2 =1.

Таким образом, любое число а+bi нашей системы допускает представление в виде а’+b’Е, но теперь Е 2 =1. Закон умножения таких чисел будет

Читайте также:  Как подключить mhl адаптер к телевизору

Итак, при p+q 2 /4 > 0 получаем систему двойных чисел.

3) p+q2/4=0. В этом случае, обозначив через W число i-q/2,будем иметь W 2 =0.

Любое число а+bi нашей системы может быть переписано в виде
(а+(b/2)q)+bW, т, е. в виде a1+b1W. 3акон умножения выглядит так:

Это система дуальных чисел.

В итоге получаем, что любая система чисел a+bi с правилами действий (1) и (3) есть одна из трех:

1) комплексные числа a+bj, j 2 =-1

2) двойные числа a+bE, E 2 =1

3) дуальные числа a+bW, W 2 =0.

Опыт построения системы комплексных (а также двойных и дуальных) чисел наводит на мысль пойти дальше и рассмотреть числа вида

где а, b, с — произвольные действительные числа, а i и j – некоторые символы. Но из чисел вида а+bi+сj построить систему с делением невозможно. Однако оказывается, что если присоединить еще один символ k и рассмотреть числа вида

q=a+bi+cj+dk, (6)

то можно получить систему с делением. Наиболее интересным примером такой системы являются кватернионы («четверные» числа). Так называются числа вида (6) с законом сложения

и весьма своеобразным законом умножения. Чтобы описать этот закон, достаточно указать, чему равны всевозможные парные произведения чисел i, j, k. Положим, по определению,

i 2 =-1, j 2 =-1, k 2 =-1 (7)
ij=k, ji=-k, jk=i, kj=-i, ki=j,

Более подробно о кватернионах и других гиперкомплексных числах можно прочитать в книге [6].

Упражнения

a) i 66 ; i 143 ; i 216 ; i 137 .

b) i 43 +i 48 +i 44 +i 45 .

c) (i 36 +i 17 )i 23 .

d) (i 133 +i 115 +i 200 +i 142 )(i 17 +i 36 ).

e) i 145 +i 147 +i 264 +i 345 +i 117 .

f) (i 13 +i 14 +i 15 )i 32 .

g) (i 64 +i 17 +i 13 +i 82 )(i 72 -i 34 ).

2. Найдите действительные значения x и y из равенств:

3. Произведите сложение и вычитание комплексных чисел:

4. Произведите умножение комплексных чисел:

С помощью тригонометрической формы удобно находить произведение и частное комплексных чисел. Пусть

Z1= r1(cos1 + isin1), Z2 = r2(cos2 + isin2).

Z1Z2= r1r2[cos1cos2 sin1sin2 + i(sin1cos2 + cos1sin2)]=

= r1r2[cos(1 + 2) + isin(1 + 2)].

Таким образом, произведение комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, можно находить по формуле:

Z1Z2= r1r2[cos(1 + 2) + isin(1 + 2)] (5)

Из формулы (5) следует, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Если Z1=Z2 то получим:

Z 2 =[r(cos + isin)] 2 = r 2 (cos2 + isin2)

Z 3 =Z 2 Z= r 2 (cos2 + isin2)r(cos + isin)= r 3 (cos3 + isin3)

Вообще для любого комплексного числа Z= r(cos + isin)0 и любого натурального числа n справедлива формула:

Z n =[ r(cos + isin)] n = r n (cosn+ isinn), (6)

которую называют формулой Муавра.

Частное двух комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, можно находить по формуле:

[ cos(1 – 2) + isin(1 – 2)]. (7)

= = cos(2) + isin(2)

Используя формулу 5

(cos1 + isin1)(cos(-2) + isin(-2)) =

cos(12) + isin(12).

Число -8 запишем в тригонометрической форме

8 = 8(cos( + 2) + i·sin( + 2)),

Пусть Z = r(cos + isin), тогда данное уравнение запишется в виде:

r 3 (cos3 + isin3) = 8(cos( + 2) + i·sin( + 2)),

Комментировать
590 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
Adblock
detector