No Image

Среднее значение функции через интеграл

1 257 просмотров
10 марта 2020

Теорема 1 (об оценке определенного интеграла)

Если m и M ¾ соответственно наименьшее и наибольшее значения непрерывной функции f(x) на отрезке [ a, b], то

. (5)

Теорема 2 (о среднем значении)

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [ a, b], то на этом отрезке существует точка С такая, что

. (6)

Величина

называется средним значением функции f(x) на отрезке [a, b].

Замечание 1 . Теорема 2 имеет четкий геометрический смысл: величина определенного интеграла при f(x) ≥ 0 равна площади прямоугольника, имеющего высоту f(C) и основание b – a (рис. 2).

Имеют место более общие теоремы об оценке и среднем: если функции f( x) и φ( x) непрерывны на отрезке [ a, b] и φ( x) > 0, m – наименьшее, M – наибольшее значения функции f( x) , то

, (7)

. (7 ¢ )

Из соотношений (7) и (7′) следуют соотношения (5) и (6), если принять φ(x) ≡ 1 .

Для непрерывных на отрезке [ a, b] функций f( x) и φ( x) имеет место неравенство Коши – Буняковского:

.

П р и м е р 1. Используя теорему об оценке, найти, какому интервалу принадлежит значение интеграла .

Решение. На отрезке [16, 32] наименьшее значение функции

,

,

длина промежутка интегрирования b – a = 32 – 16 = 16. Согласно неравенству (1) имеем

.

Как известно, среднее значение функции f(x), заданной на отрезке [a, b] равно:

Но это только теория, вас же интересует скорее всего практическая сторона, а именно, вам задана какая-то конкретная функция и для неё необходимо найти среднее значение.

Лучше всего рассмотреть как получить среднее значение функции с помощью примера.

Например, вам дана функция:

f(x) = x*sin(x) и надо найти её среднее значение на отрезке [0, π/2]

Для того, чтобы найти ср. значение функции f(x) онлайн, надо воспользоваться тремя двумя шагами:

Читайте также:  Психологические тесты на вменяемость

1. Получить подробное решение определённого интеграла (который стоит в числителе) здесь

Ввести, x*sin(x) как на рисунке ниже:

После этого нажать на кнопку "Найти интеграл".

Тем самым вы вычислите числитель дроби, который входит в формулу для среднего значения функции.

В нашем примере это значение интеграла будет равно 1, значит числитель будет равен 1.

2. Вычисляем знаменатель. Он равен b – a = π/2 – 0 = π/2

3. Делим числитель на знаменатель и получим необходимое нам среднее значение функции:

В итоге вы получите ответ и подробное решение в придачу.

Опубликовано: Октябрь 30, 2013

Тэги: функция

© Контрольная работа РУ – примеры решения задач

Здравствуйте!
Как найти среднее значение функции на отрезке? Может формулы есть?
Спасибо!

Рассмотрим вопрос о том, как находить среднее значение функции на отрезке.
По этому поводу существует теорема, которая называется теоремой о среднем. В ней говорится, что если на определенном отрезке заданная функция непрерывна, то на этом промежутке найдется такая точка, для которой будет выполняться условие:

Здесь a и b — концы отрезка, f(x) — заданная функция, а с — выше упоминаемая точка.
Значение функции в точке с называют средним ее значением на отрезке от а до b и находят по формуле:

Формулой очень удобно пользоваться, если функция на отрезке задана не линейная, а квадратичная, логарифмическая, тригонометрическая или какая-либо еще.
Рассмотрим пример.

Задание.
Найти среднее значение функции на отрезке [2; 13].

Решение.
Воспользуемся выше упомянутой формулой и подставим в нее известные значения:

Используем формулу Ньютона-Лейбница и найдем значение полученного выражения:

Упростим выражение и вычислим его результат:

Получили среднее значение функции на отрезке [2; 13] равным 35,8.

Комментировать
1 257 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
Adblock
detector