No Image

Составить уравнение плоскости проходящей через три точки

СОДЕРЖАНИЕ
422 просмотров
10 марта 2020

В этой статье мы разберемся с задачей нахождения уравнения плоскости в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве, когда известны координаты трех различных точек этой плоскости, не лежащих на одной прямой. Сначала покажем принцип нахождения уравнения плоскости, после чего перейдем к решению примеров и задач, в которых требуется составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Навигация по странице.

Нахождение уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки.

Прежде чем приступать к составлению уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки пространства, вспомним одну аксиому: через три несовпадающие и не лежащие на одной прямой точки трехмерного пространства проходит единственная плоскость. Таким образом, задав три различных и не лежащих на одной прямой точки, мы в трехмерном пространстве однозначно определим плоскость, проходящую через эти точки.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz , в ней заданы три несовпадающие точки , которые не лежат на одной прямой. Поставим перед собой следующую задачу: написать уравнение плоскости, проходящей через эти три точки.

Покажем два способа ее решения.

Первый способ составления уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки .

Известно, что общее уравнение плоскости вида задает в прямоугольной системе координат Oxyz плоскость , которая проходит через точку , а нормальный вектор плоскости имеет координаты . Следовательно, мы можем составить общее уравнение плоскости, если знаем координаты точки, через которую она проходит, и координаты нормального вектора этой плоскости. От этого знания и будем отталкиваться при нахождении уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки .

Итак, из условия задачи нам известны координаты точки (даже координаты трех точек), через которую проходит плоскость, уравнение которой нам требуется составить. Осталось отыскать координаты нормального вектора этой плоскости.

Читайте также:  Как поставить фильтр на ютуб для детей

Так как нормальный вектор плоскости и любой ненулевой вектор этой плоскости перпендикулярны, то вектор перпендикулярен как вектору , так и вектору . Следовательно, в качестве вектора можно принять векторное произведение векторов и . Так как и (при необходимости обращайтесь к статье вычисление координат вектора по координатам точек), то . После вычисления записанного определителя, станут видны координаты нормального вектора , и можно записывать требуемое уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Второй способ нахождения уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки .

Очевидно, что множество точек определяет в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве плоскость, проходящую через три различные и не лежащие на одной прямой точки , тогда и только тогда, когда три вектора и компланарны.

Следовательно, должно выполняться условие компланарности трех векторов и , то есть, смешанное произведение векторов должно быть равно нулю: . Это равенство в координатной форме имеет вид . Оно, после вычисления определителя, представляет собой общее уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки .

Далее, от полученного общего уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки, Вы при необходимости можете перейти к уравнению плоскости в отрезках или к нормальному уравнению плоскости.

Осталось рассмотреть решения примеров, в которых находится уравнение плоскости, проходящей через три несовпадающие и не лежащие на одной прямой точки.

Примеры составления уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки.

В предыдущем пункте статьи мы рассмотрели два способа нахождения уравнения плоскости, проходящей через три различные и не лежащие на одной прямой точки. Давайте рассмотрим их применение при решении задачи.

Плоскость проходит через три данные точки, не лежащие на одной прямой

Пусть точки M1, M2, M3 не лежат на одной прямой. Как известно, три такие точки однозначно определяют некоторую плоскость р (рис. 199).

Читайте также:  Программы для создания видео на русском языке

Выведем уравнение плоскости р. Пусть М – произвольная точка пространства. Очевидно, что точка М принадлежит плоскости р тогда и только тогда, когда векторы

(overrightarrow<1>M>), (overrightarrow<1>M_2>), (overrightarrow<1>M_3>) компланарны. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения (§ 23*, теорема 2). Поэтому уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой, может быть записано следующим образом:

((overrightarrow<1>M>), (overrightarrow<1>M_2>), (overrightarrow<1>M_3>)) = 0. (1)

Если точки M1, M2 и M3 заданы координатами в некоторой прямоугольной декартовой системе координат, то уравнение (1) можно записать в координатах.

Смешанное произведение трех векторов равно определителю третьего порядка, в строках которого стоят координаты векторов. Следовательно, уравнение (1) в координатах имеет вид

Найдем уравнение плоскости, проходящей через три точки А (а; 0; 0), В(0; b; 0), С(0; 0;с), у которых а =/= 0, b =/= 0, c =/= 0. Эти точки лежат на осях координат (рис. 200).

$$ egin x-a & y & z \ -a & b & 0 \ -a & 0 & c end=0 $$

Разложив определитель по элементам первой строки, получим уравнение

bcx + асу + abz = abc,

Уравнение (3) называется уравнением плоскости в отрезках, так как числа a, b и с указывают, какие отрезки отсекает плоскость на осях координат.

Задача. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки M1(-1; 4; -1), M2(-13; 2; -10), M3(6; 0; 12). Упростить полученное уравнение. Получить уравнение данной плоскости в отрезках.

Уравнение (2) в данном случае записывается следующим образом:

$$ egin x+1 & y-4 & z+1 \ -12 & -2 & -9 \ 7 & -4 & 13 end=0 $$

Это и есть уравнение данной плоскости. Разложив определитель по первой строке, получим

Читайте также:  Как в ворде сделать кроссвордную сетку

Разделив почленно на 12 и перенеся свободный член уравнения в правую часть, получим уравнение данной плоскости в отрезках

Из уравнения видно, что данная плоскость отсекает на осях координат отрезки, длины которых равны соответственно 6, 4 и 6. Ось Ох пересекается плоскостью в точке с отрицательной абсциссой, ось Оу – в точке с положительной ординатой, ось Оz – в точке с положительной апликатой.

Предлагаю вам воспользоваться онлайн калькулятором чтобы найти уравнение плоскости.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное пошаговое решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на составление уравнения плоскости и закрепить пройденный материал.

Найти уравнение плоскости

Выберите метод решения исходя из имеющихся в задаче данных:

В задаче известны:

Ввод данных в калькулятор для составления уравнения плоскости

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора для вычисления уравнения плоскости

  • Используйте кнопки и на клавиатуре, для перемещения между полями калькулятора.

Теория. Уравнение плоскости.

Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки

В зависимости от условий задачи уравнение плоскости можно составить следующими способами:

    Если заданы координаты трех точек A( x 1, y 1, z 1), B( x 2, y 2, z 2) и C( x 3, y 3, z 3), лежащих на плоскости, то уравнение плоскости можно составить по следующей формуле

x – x 1 y – y 1 z – z 1 = 0
x 2 – x 1 y 2 – y 1 z 2 – z 1
x 3 – x 1 y 3 – y 1 z 3 – z 1


Если заданы координаты точки A( x 1, y 1, z 1) лежащей на плоскости и вектор нормали n = , то уравнение плоскости можно составить по следующей формуле:

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Комментировать
422 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
Adblock
detector