No Image

Счетные и несчетные числа

755 просмотров
10 марта 2020

Простейшими среди бесконечных множеств является множество натуральных чисел.

Определение:Множество называется счётным, если элементы множества биективно сопоставлены со множеством натуральных чисел.

Приведём примеры счётных множеств.

Пример 1. Имеем множество всех целых чисел. Установим соответствие между всеми натуральными числами по схеме:

Вообще, для n ³ 0 сопоставим нечётное число 2n+1 , а отрицательному n

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Сдача сессии и защита диплома – страшная бессонница, которая потом кажется страшным сном. 8921 – | 7229 – или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Если множества являются бесконечными, то установление между ними взаимно однозначного соответствия наталкивается на трудности, связанные с необходимостью оперировать с бесконечно большим чис­лом элементов множества. За основу для сопоставления бесконечных множеств принято брать натуральный ряд чисел N: 1, 2, . n .

Если бесконечное множество оказывается возможным привести во взаимно однозначное соответствие с натуральным рядом чисел, то такое множество называют счетным. Следует отметить, что не все бесконечные множества являются счетными. Если бесконечное множество невозможно привести во взаимно однозначное соответствие с натуральным рядом чисел, то его называют несчетным.

В качестве примера бесконечного множе­ства рассмотрим множество равносторонних треугольников, в которых вершинами каждого треугольника являются середины сторон уже построенного треугольника (рис. 1.7). Это бесконечное множество равносторонних тре­угольников можно привести во взаимно одно­значное соответствие с натуральным рядом чисел, расположив их в порядке уменьшения длин сторон, т. е. в виде последовательности T1, T2 …,Тn … Следова­тельно, рассмотренное бесконечное множество равносторонних треуголь­ников является счетным. Однако существует бесконечное множество дру­гих равносторонних треугольников, не входящих в рассмотренное мно­жество. Вопрос о том, является ли счетным множество всех равносто­ронних треугольников или всех треугольников вообще, требует допол­нительного исследования.

Рис. 1.7. Бесконечное множество

Приведем несколько примеров счетных множеств.

1. Множество квадратов целых чисел 1, 4, 9, . n 2 . представ­ляет собой лишь подмножество множества натуральных чисел N. Одна­ко множество является счетным, так как приводится во взаимно одно­значные соответствия с натуральным рядом путем приписывания каждому элементу номера того числа натурального ряда, квадратом которого он является.

2. Счетным является множество Z всех целых чисел – положи­тельных и отрицательных, хотя натуральный ряд представляет собой лишь подмножество этого множества. Это можно установить, рассмот­рев взаимно однозначное соответствие

N: 1 2 3 4 5 6 7 .

Z: 0 1 –1 2 – 2 3 –3 .

из которого следует, что

3. Еще более удивителен тот факт, что счетным оказывается мно­жество всех рациональных чисел, т. е. чисел, которые могут быть представлены в виде дроби r=q/p, где q и p – любые целые числа. Для того чтобы убедиться в этом, представим все множество рацио­нальных чисел в виде следующей таблицы, в которую, естественно, заносим несократимые дроби:

Читайте также:  Ремонт осциллографов в москве

Обходя таблицу по направлению стрелок, приходим к последова­тельности

1, 2, , , , 3, 4, , , , , , , …,

позволяющей занумеровать все эти числа.

Из приведенных примеров видно одно из замечательных свойств бесконечных множеств – возможность приведения во взаимно одно­значное соответствие бесконечного множества с его бесконечным же подмножеством, которое не имеет места в случае конечных множеств. Существование несчетных множеств следует из теоремы, доказан­ной немецким математиком Г. Кантором в 1874 г.

Теорема 1.5.1. Множество всех действительных чисел интервала 0

Доказательство. Для доказа­тельства предположим, что последова­тельность х1, х2, хз, x4 . представляет собой бесконечный перечень действи­тельных чисел, принадлежащих этому интервалу. Вопрос состоит в том, может или не может подобный перечень содер­жать все числа этого интервала, т. е. нельзя ли найти число, которое принад­лежит этому интервалу, но конечно не входит в указанный пере­чень чисел. Для того, чтобы найти такое число, запишем все входящие в перечень десятичные дроби одну под другой:

Образуем диагональную дробь, указанную стрелками, и заменим в ней каждую из последовательных цифр ann на отличную от нее цифру а’nn так, чтобы при этом не получилась конечная дробь. Полу­ченная дробь 0, a’11a’22a’33a’44… представляет собой действительное число, принадлежащее нашему интервалу, но не входящее в рассматри­ваемый перечень. Действительно, эта дробь отличается от первой из данных дробей своей первой цифрой после запятой, от второй – своей второй цифрой после запятой, от третьей – третьей цифрой и т. д.

Необычные свойства несчетных множеств проявляются в том, что рассмотренный интервал (0, 1] может быть приведен во взаимно одно­значное соответствие с любым другим интервалом (а, b]. Такое взаимно однозначное соответствие можно осуществить с помощью централь­ной проекции (рис. 1.8). Таким образом, несчетным является множе­ство всех действительных чисел любого интервала (а, b].

Рис. 1.8. Взаимно однозначное соответствие между

Лекция 10. Конечные и бесконечные множества

10.1.Конечные и бесконечные множества

10.2.Счетные и несчетные множества.

10.3.Счетность множества рациональных чисел.

10.4.Несчетность множества действительных чисел

Программные положения

Лекция посвящена вопросам сравнения бесконечных множеств. Рассматриваются счетные и несчетные множества, вводится понятие мощности как инструмента различения бесконечных множеств

Методические рекомендации

Обратите внимание на различие в определении счетных и несчетных множеств, понятие мощности

Литература

А.В. Дорофеева «Высшая математика» глава XIV стр.330-356

Р.Курант, Г.Роббинс «Что такое математика» глава II § 4, стр. 104-115

А.Я.Хинчин «Восемь лекций по математическому анализу». Лекция 1 «Кнтинуум»

Контрольные вопросы

1. Приведите примеры конечных и бесконечных множеств

2. Дайте определение счетного множества (приведите примеры)

3. Дайте определение несчетно множества (приведите примеры)

4.Покажите, что у конечного множества из n элементов 2 n подмножеств

Читайте также:  Acer aspire 5100 биос

4. Докажите, что множество рациональных чисел счетно

5. Докажите, что множество действительных чисел несчетно

6. Приведите примеры множеств эквивалентных отрезку [0,1]

Конечные и бесконечные множества

Рассматривая различные множества, мы замечаем, что иногда можно, если не фактически, то хотя бы примерно, указать число элементов в данном множестве. Таковы, например, множество всех вершин некоторого многогранника, множество всех простых чисел, не превосходящих данного числа, множество всех молекул воды на Земле и т. д. Каждое из этих множеств содержит конечное, хотя, быть может, и неизвестное нам число элементов. С другой стороны, существуют множества, состоящие из бесконечного числа элементов. Таково, например, множество всех натуральных чисел, множество всех точек на прямой, всех кругов на плоскости, всех многочленов с рациональными коэффициентами и т.д.

Определение 10.1.

Говоря, что множество бесконечно, мы имеем в виду, что из него можно извлечь один элемент, два элемента и т.д., причем после каждого такого шага в этом множестве еще останутся элементы.

Два конечных множества мы можем сравнивать по числу элементов и судить, одинаково это число или же в одном из множеств элементов больше, чем в другом. Спрашивается, можно ли подобным же образом сравнивать бесконечные множества? Иначе говоря, имеет ли смысл, например, вопрос о том, чего больше: кругов на плоскости или рациональных точек на прямой, функций, определенных на отрезке [0,1], или прямых в пространстве, и т.д.?

Сравнение конечных множеств

Сравнивая конечные множества можно поступать двояко:

1) подсчитать и сравнить число элементов

2) попытаться установить биекцию, т. е. взаимно однозначное соответствие между элементами этих множеств, иначе говоря, такое соответствие, при котором каждому элементу одного множества отвечает один и только один элемент другого,

и наоборот. Ясно, что взаимно однозначное соответствие между двумя конечными множествами можно установить тогда и только тогда, когда число элементов в них одинаково.

Например, сравнивая множество студентов 1 курса и множество стульев в аудитории № 1 можно подсчитать количество студентов и стульев, а можно рассадить студентов в аудитории, тем самым попробовав установить взаимно однозначное соответствие между этими множествами. Если мест хватит всем и не останется ни одного лишнего стула, т. е. если будет установлена биекция между этими двумя множествами, то это и будет означать, что число элементов в них одинаково.

Замечание 10.1.

Первый способ (подсчет числа элементов) годится лишь для сравнения конечных множеств, второй (установление взаимно однозначного соответствия) пригоден и для

Счетные и несчетные множества.

Определение 10.2.(1)

Назовем счетным множеством всякое множество, элементы которого можно биективно сопоставить со всеми натуральными числами. Иначе говоря, счетное множество — это такое множество, элементы которого можно занумеровать в бесконечную последовательность: а1 , а2, а3, …

Читайте также:  Kingdoms of amalur reckoning как увеличить рюкзак

Примеры 10.2.

1. Множество всех целых чисел. Установим соответствие между всеми целыми и всеми натуральными числами по следующей схеме:

вообще, неотрицательному числу n≥0 сопоставим нечетное число

2n + 1, а отрицательному n n . степеней числа 2. Здесь соответствие также очевидно. Каждому числу 2 n сопоставляется число n.

4. Множество рациональных чисел (см. п.10.3)

Пусть X — счетное множество, т. е. существует взаимно однозначное отображение (биекция) множества натуральных чисел N на множество X. Элемент множества X, соответствующий при этом отображении числу n, обозначим, как и в случае последовательности, хn и будем называть число n его номером. Поэтому можно сказать,

что множество является счетным, если его элементы можно перенумеровать натуральными числами.

Замечание 10.2.

Отличие определения счетного множества от последовательности состоит в том, что в случае последовательности рассматриваемое отображение множества натуральных чисел не обязано быть биекцией: не исключается случай, когда разным натуральным числам окажется поставленным в соответствие один и тот же элемент. Отсюда следует, что множество значений членов последовательности либо конечно, либо счетно, т. е., как говорят, не более чем счетно.

Теорема 10.2(1).

Любое бесконечное множество содержит бесконечное счетное подмножество.

Пусть X — бесконечное множество; тогда оно во всяком случае непусто, т. е. в нем существует по крайней мере один элемент, обозначим его через х1. Поскольку множество X бесконечно, то множество X 1> также непусто, т. е. содержит по крайней мере один элемент, обозначим его х2. Продолжая этот процесс, на n-м шаге получим элемент хn. Поскольку X — бесконечное множество, то множество X <х1,x2, . хn> непусто, т. е. содержит по крайней мере один элемент, обозначим его хn+1 и т. д.

Множество < х1,x2, . хn. > — искомое счетное подмножество множества X.

Теорема 10.2(2).

Любое бесконечное подмножество счетного множества счетно.

Пусть X — счетное множество: X = < х1,x2, . хn …>и .

Обозначим через у1 элемент из У, имеющий наименьший номер в X, через y2 — элемент множества У, имеющий следующий ближайший номер, и т. д. Поскольку каждый элемент множества Y является некоторым элементом хn множества X и, следовательно, имеет номер n, то через конечное число шагов (не больше, чем n) он получает некоторый номер m и в множестве У, т. е. будет обозначен уm, причем, поскольку множество Y бесконечно, этот процесс может быть продолжен неограниченно. Таким образом, все элементы множества Y окажутся перенумерованными, что и означает счетность этого множества. |

Возникает естественный вопрос, существуют ли несчетные множества, т. е. бесконечные множества, не являющиеся счетными, а если существуют, то интересно построить пример несчетного множества. Соответствующий пример рассмотрен в п.10.4

Дата добавления: 2016-12-06 ; просмотров: 5004 | Нарушение авторских прав

Комментировать
755 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
Adblock
detector