No Image

Разложите на множители методом неопределенных коэффициентов

СОДЕРЖАНИЕ
1 426 просмотров
10 марта 2020

Разложение многочлена на множители методом неопределенных коэффициентов

В этой статье мы рассмотрим решение уравнения четвертой степени с помощью разложения на множители методом неопределенных коэффициентов.

Решить уравнение:

Перед нами уравнение четвертой степени.

Чтобы решить это уравнение, разложим левую часть уравнения на множители.

Многочлен четвертой степени можно разложить на произведение двух многочленов второй степени.

Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.

Пусть выполняется равенство:

Здесь -целые числа.

Перемножим две скобки справа и приведем подобные члены. Получим:

Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях и получим систему уравнений:

Без ограничения общности можем считать, что

, тогда пусть

, отсюда или .

Рассмотрим два случая:

  1. ,

Получим систему уравнений:

Из второго и третьего уравнений получаем – что не удовлетворяет третьему уравнению. Система не имеет решений.

2. ,

Из второго и третьего уравнений получаем – и эти значения удовлетворяет третьему уравнению.

Получили:

Тогда наше разложение имеет вид:

Осталось приравнять квадратные трехчлены в скобках к нулю и найти корни:

Ответ: ,

Разложение на множители алгебраического многочлена степени n

Любой алгебраический многочлен степени n может быть представлен в виде произведения n-линейных множителей вида и постоянного числа, которое является коэффициентов многочлена при старшей ступени х, т.е.

где – являются корнями многочлена.

Корнем многочлена называют число (действительное или комплексное), обращающее многочлен в нуль. Корнями многочлена могут быть как действительные корни, так и комплексно-сопряженные корни, тогда многочлен может быть представлен в следующем виде:

Рассмотрим методы разложения многочленов степени «n» в произведение множителей первой и второй степени.

Способ №1. Метод неопределенных коэффициентов.

Коэффициенты такого преобразованного выражения определяются методом неопределенных коэффициентов. Суть метода сводится к тому, что заранее известен вид множителей, на которые разлагается данный многочлен. При использовании метода неопределённых коэффициентов справедливы следующие утверждения:

П.1. Два многочлена тождественно равны в случае, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях х.

П.2. Любой многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратного множителей.

П.3. Любой многочлен четвертой степени разлагается на произведение двух многочленов второй степени.

Пример 1.1. Необходимо разложить на множители кубическое выражение:

П.1. В соответствии с принятыми утверждениями для кубического выражения справедливо тождественное равенство:

П.2. Правая часть выражения может быть представлена в виде слагаемых следующим образом:

П.3. Составляем систему уравнений из условия равенства коэффициентов при соответствующих степенях кубического выражения.

Данная система уравнений может быть решена методом подбора коэффициентов (если простая академическая задача) или использованы методы решения нелинейных систем уравнений. Решая данную систему уравнений, получим, что неопределённые коэффициенты определяются следующим образом:

; ; ;

Таким образом, исходное выражение раскладывается на множители в следующем виде:

Данный метод может использоваться как при аналитических выкладках, так и при компьютерном программировании для автоматизации процесса поиска корня уравнения.

Способ №2. Формулы Виета

Формулы Виета — это формулы, связывающие коэффициенты алгебраических уравнений степени n и его корни. Данные формулы были неявно представлены в работах французского математика Франсуа Виета (1540 – 1603). В связи с тем, что Виет рассматривал только положительные вещественные корни, поэтому у него не было возможности записать эти формулы в общем явном виде.

Для любого алгебраического многочлена степени n, который имеет n-действительных корней,

справедливы следующие соотношения, которые связывают корни многочлена с его коэффициентами:

Формулами Виета удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для составления многочлена по заданным корням.

Пример 2.1. Рассмотрим, как связаны корни многочлена с его коэффициентами на примере кубического уравнения

В соответствии с формулами Виета взаимосвязь корней многочлена с его коэффициентами имеет следующий вид:

Читайте также:  Как оформить первую страницу доклада

Аналогичные соотношения можно составить для любого полинома степени n.

Способ №3. Разложение квадратного уравнения на множители с рациональными корнями

Из последней формулы Виета следует, что корни многочлена являются делителями его свободного члена и старшего коэффициента. В связи с этим, если в условии задачи задан многочлен степени n c целыми коэффициентами

то данный многочлен имеет рациональный корень (несократимая дробь), где p – делитель свободного члена , а q – делитель старшего коэффициента . В таком случае многочлен степени n можно представить в виде (теорема Безу):

Многочлен , степень которого на 1 меньше степени начального многочлена, определяется делением многочлена степени n двучлен , например, с помощью схемы Горнера или самым простым способом – «столбиком».

Пример 3.1. Необходимо разложить многочлен на множители

П.1. В связи с тем, что коэффициент при старшем слагаемом равен единицы, то рациональные корни данного многочлена являются делителями свободного члена выражения, т.е. могут быть целыми числами . Подставляем каждое из представленных чисел в исходное выражение найдем, что корень представленного многочлена равен .

Выполним деление исходного многочлена на двучлен:

Воспользуемся схемой Горнера

В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена, при этом первая ячейка верхней строки остается пустой.

В первой ячейке второй строки записывается найденный корень (в рассматриваемом примере записывается число «2»), а следующие значения в ячейках вычисляются определенным образом и они являются коэффициентами многочлена, который получится в результате деления многочлена на двучлен. Неизвестные коэффициенты определяются следующим образом:

Во вторую ячейку второй строки переносится значение из соответствующей ячейки первой строки (в рассматриваемом примере записывается число «1»).

В третью ячейку второй строки записывается значение произведения первой ячейки на вторую ячейку второй строки плюс значение из третьей ячейки первой строки (в рассматриваемом примере 2 ∙1 -5 = -3).

В четвертую ячейку второй строки записывается значение произведения первой ячейки на третью ячейку второй строки плюс значение из четвертой ячейки первой строки (в рассматриваемом примере 2 ∙ (-3) +7 = 1).

И так далее. Последняя ячейка второй строки является остатком деления многочлена на двучлен. В случае если деление происходит на корень уравнения, то остаток должен быть равен «0».

Таким образом, исходный многочлен раскладывается на множители:

П.2. Далее раскладывается на множители многочлен третьей степени (кубическое выражение).

Способ №4. Использование формул сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения применяют для упрощения вычислений, а также разложение многочленов на множители. Формулы сокращенного умножения позволяют упростить решение отдельных задач.

Формулы, используемые для разложения на множители

Формулы, используемые для разложения на слагаемые

Деление формул на две группы выполнено условно для удобства запоминания, а любые равенства справедливы как при чтении их слева направо, так и справа налево.

Пример 4.1. Необходимо разложить многочлен на множители

П.1. Воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности квадратов и преобразуем исходное выражение к следующему виду:

П.2. Далее решаются квадратные уравнения и исходный многочлен раскладывается на множители.

Пример 4.2. Необходимо разложить многочлен четвертой степени на множители

П.1. Воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности квадратов и преобразуем исходное выражение к следующему виду:

П.2. Далее решаются квадратные уравнения и исходный многочлен раскладывается на множители.

Для того, чтобы добавить Ваш комментарий к статье, пожалуйста, зарегистрируйтесь на сайте.

Устанавливая рекомендуемое программное обеспечение вы соглашаетесь
с лицензионным соглашением Яндекс.Браузера и настольного ПО Яндекса .

Выбранный для просмотра документ MНK.doc

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БАШКОРТО СТАН

ГАОУ СПО Башкирский архитектурно-строительный колледж

Халиуллин Асхат Адельзянович,

преподаватель математики Башкирского

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ___________________________________________________ 3

Глава I . Теоретические аспекты использования метода неопределенных коэффициентов______________________________________________ 4

Читайте также:  New internet start net что это

Глава II . Поиски решения задач с многочленами методом неопределенных коэффициентов_______________________________ 7

2.1.Разложение многочлена на множители____________________ _ 7

2.2. Задачи с параметрами__________________________________ 10

2.3. Решение уравнений____________________________________ 14

2.4. Функциональные уравнения_____________________________ 19

Список использованной литературы____________________________ 24

Данная работа посвящена теоретическим и практическим аспектам внедрения в школьный курс математики метода неопределенных коэффициентов. Актуальность данной темы определяется следующими обстоятельствами.

Никто не будет спорить с тем, что математика как наука не стоит на одном месте, все время развивается, появляются новые задачи повышенной сложности, что часто вызывает определенные трудности, поскольку эти задачи, как правило, связаны с исследованием. Такие задачи в последние годы предлагались на школьных, районных и республиканских математических олимпиадах, они также имеются в вариантах ЕГЭ. Поэтому потребовалось специальный метод, который позволял бы наиболее быстро, эффективно и доступно решать хотя бы часть из них. В этой работе доступно излагается содержание метода неопределенных коэффициентов, широко применяющегося в самых разнообразных разделах математики, начиная от вопросов, входящих в курс общеобразовательной школы, и до самых продвинутых ее частей. В частности, применения метода неопределенных коэффициентов в решении задач с параметрами, дробно-рациональных и функциональных уравнений особенно интересны и эффективны; они легко могут заинтересовать любого, кто интересуется математикой. Главная цель предлагаемой работы и подборки задач состоит в том, чтобы предоставить широкие возможности для оттачивания и развития способности находить короткие и нестандартные решения.

Данная работа состоит из двух глав. В первой рассматриваются теоретические аспекты использования

метода неопределенных коэффициентов, во второй-практико-методологические аспекты такого использования.

В приложении к работе приведены условия конкретных задач для самостоятельного решения.

Глава I . Теоретические аспекты использования метод а неопределенных коэффициентов

«Человек … родился быть господином,

повелителем, царем природы, но мудрость,

с которой он должен править, не дана ему

от рождения: она приобретается учением »

Н.И.Лобачевский

Существуют различные способы и методы решения задач, но одним из самым удобным, наиболее эффективным, оригинальным, изящным и вместе с тем очень простым и понятным всем является метод неопределенных коэффициентов. Метод неопределенных коэффициентов —метод, применяемый в математике для отыскания коэффициентов выражений, вид которых заранее известен.

Прежде чем рассмотреть применение метода неопределенных коэффициентов к решению различного рода задач, приведем ряд сведений теоретического характера.

многочлены относительно х с любыми коэффициентами.

Очевидно, что равные многочлены принимают при всех значениях х одинаковые значения. И наоборот, если значения двух многочленов равны при всех значениях х, то многочлены равны, то есть их коэффициенты при одинаковых степенях х совпадают.

Следовательно, идея применения метода неопределенных коэффициентов к решению задач состоит в следующем.

Пусть нам известно, что в результате некоторых преобразований получается выражение определенного вида и неизвестны лишь коэффициенты в этом выражении. Тогда эти коэффициенты обозначают буквами и рассматривают как неизвестные. Затем для определения этих неизвестных составляется система уравнений.

Например, в случае многочленов эти уравнения составляют из условия равенства коэффициентов при одинаковых степенях х у двух равных многочленов.

Покажем сказанное выше на следующих конкретных примерах, причем начнем с самого простого.

Так, например, на основании теоретических соображений дробь

может быть представлена в виде суммы

, где a , b и c коэффициенты, подлежащие определению. Чтобы найти их, приравниваем второе выражение первому :

=

и освобождаясь от знаменателя и собирая слева члены с одинаковыми степенями х , получаем :

Так как последнее равенство должно выполняться для всех значений х , то коэффициенты при одинаковых степенях х справа и слева должны быть одинаковы. Таким образом, получаются три уравнения для определения трех неизвестных коэффициентов:

a + b + c = 2

= ,

справедливость этого равенства легко проверить непосред-ственно.

Читайте также:  Как передавать вещи в стиме

Пусть ещё нужно представить дробь

в виде a + b + c + d , где a , b , c и d – неизвестные рациональные коэффициенты. Приравниваем второе выражение первому :

a + b + c + d = или , освобождаясь от знаменателя, вынося, где можно, рациональные множители из-под знаков корней и приводя подобные члены в левой части, получаем :

( a – 2 b + 3 c ) + ( – a + b +3 d ) + ( a + c – 2 d ) +

+ ( b – c + d ) = 1 + .

Но такое равенство возможно лишь в случае, когда равны между собой рациональные слагаемые обеих частей и коэффициенты при одинаковых радикалах. Таким образом, получаются четыре уравнения для нахождения неизвестных коэффициентов a , b , c и d :

a –2 b + 3c = 1

b c + d = 0 , откуда a = 0 ; b = – ; c = 0 ; d = , то есть = – + .

Глава II . Поиски решения задач с многочленами методом неопределенных коэффициентов .

«Ничто так не содействует усвоению предме-

та, как действие с ним в разных ситуациях »

2. 1. Разложение многочлена на множители.

Способы разложения многочленов на множители:

1) вынесение общего множителя за скобки;2) метод груп – пировки; 3) применение основных формул умножения; 4) введение вспомогательных членов;5)предварительное преобразование данного многочлена с помощью тех или иных формул; 6) разложение с помощью отыскания корней данного многочлена; 7) метод введения параметра; 8)метод неопределенных коэффициентов.

З а д а ч а 1. Разложить на действительные множители многочлен х 4 + х 2 + 1 .

Решение. Среди делителей свободного члена данного многочлена нет корней. Другими элементарными средствами корни многочлена найти не можем. Поэтому выполнить требуемое разложение с помощью предварительного отыскания корней данного многочлена не представляется возможным. Остается искать решение задачи либо методом введения вспомогательных членов, либо методом неопределенных коэффициентов. Очевидно, что х 4 + х 2 + 1 = х 4 + х 3 + х 2 – х 3 – х 2 – х + х 2 + х + 1 =

Полученные квадратные трёхчлены не имеют корней, а потому неразложимы на действительные линейные множители.

Изложенный способ технически прост, но труден вследствие своей искусственности. Действительно, очень трудно придумать требующиеся вспомогательные члены. Найти это разложение нам помогла всего лишь догадка. Но

существуют и более надёжные способы решения таких задач.

Можно было бы действовать так: предположить, что данный многочлен разлагается в произведение

двух квадратных трёхчленов с целыми коэффициентами.

Таким образом, будем иметь, что

Остается определить коэффициенты a , b , c и d .

Перемножив многочлены, стоящие в правой части последнего равенства, получим : х 4 + х 2 + 1 = х 4 +

Но поскольку нам необходимо, чтобы правая часть этого равенства превратилась в такой же многочлен, который стоит в левой части, потребуем выполнения следующих условий :

а + с = 0

Получилась система четырех уравнений с четырьмя неизвестными a , b , c и d . Легко найти из этой системы коэффициенты a = 1 , b = 1 , c = -1 и d = 1.

Теперь задача решена полностью. Мы получили :

З а д а ч а 2. Разложить на действительные множители многочлен х 3 – 6 х 2 + 14 х – 15 .

Решение. Представим данный многочлен в виде

х 3 – 6 х 2 + 14 х – 15 = ( х + а )( х 2 + bx + c ) , где a , b и с – не определённые пока коэффициенты. Так как два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда коэффициенты при одинаковых степенях х равны, то, приравнивая коэффициенты соответственно при х 2 , х и свободные члены , получим систему трёх уравнений с тремя неизвестными:

a + b = – 6

Решение этой системы значительно упростится, если учесть, что число 3 (делитель свободного члена) является корнем данного уравнения, и, следовательно, a = – 3 ,

Тогда х 3 – 6 х 2 + 14 х – 15 = ( х – 3 )( х 2 – 3 x + 5).

Примененный метод неопределенных коэффициентов по сравнению с изложенным выше методом введения вспомогательных членов не содержит ничего искусственного, но зато требует применения многих теоретических положений и сопровождается довольно большими выкладками. Для многочленов более высокой степени такой метод неопределенных коэффициентов приводит к громоздким системам уравнений.

Комментировать
1 426 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
Adblock
detector