No Image

Преобразование фурье для изображений

СОДЕРЖАНИЕ
705 просмотров
10 марта 2020

Image Processing Toolbox™ обеспечивает исчерпывающий набор ссылочно-стандартных алгоритмов и приложений рабочего процесса для обработки изображений, анализа, визуализации и разработки алгоритмов. Можно выполнить сегментацию изображений, повышение качества изображения, шумоподавление, геометрические преобразования, и отобразить регистрацию с помощью глубокого обучения и традиционных методов обработки изображений. Обработка поддержек тулбокса 2D, 3D, и произвольно больших изображений.

Приложения Image Processing Toolbox позволяют вам автоматизировать общие рабочие процессы обработки изображений. Можно в интерактивном режиме сегментировать данные изображения, сравнить регистрационные методы изображений и пакетно обработать большие наборы данных. Функции визуализации и приложения позволяют вам исследовать изображения, 3D объемы и видео; настройте контраст; создайте гистограммы; и управляйте видимыми областями (КОРОЛИ).

Можно ускорить алгоритмы путем выполнения их на многоядерных процессорах и графических процессорах. Много функций тулбокса поддерживают генерацию кода C/C++ для развертывания системы компьютерного зрения и анализа прототипа.

Начало работы

Изучите основы Image Processing Toolbox

Импортируйте, экспортируйте, и преобразование

Импорт данных изображения и экспорт, преобразование типов изображения и классов

Отображение и исследование

Интерактивные инструменты для отображения изображений и исследования

Геометрическое преобразование и регистрация изображений

Масштабируйте, вращайте, выполните другие преобразования N-D и выровняйте изображения с помощью корреляции интенсивности, соответствия функции или отображения контрольной точки

Отобразите фильтрацию и улучшение

Контрастная корректировка, морфологическая фильтрация, deblurring, основанная на ROI обработка

Отобразите сегментацию и анализ

Анализ области, анализ структуры, пиксель и статистика изображений

Глубокое обучение для обработки изображений

Выполните задачи обработки изображений, такие как удаление шума изображения и создание изображений с высоким разрешением от изображений низких разрешений, с помощью сверточных нейронных сетей (требует Deep Learning Toolbox™),

3-D объемная обработка изображений

Фильтр, сегмент, и выполняют другие операции обработки изображений на 3-D объемных данных

Генерация кода

Сгенерируйте код С и MEX-функции для функций тулбокса

Вычисление графического процессора

Запустите код обработки изображений по графическому процессору (GPU)

Задачи распознавания сцен и изображений традиционно входят в число классических проблем искусственного интеллекта [3]. Причем, если решение задачи распознавания изображений обычно не вызывает серьезных трудностей [1, 2], то в распознавании сцен успехов достигнуто значительно меньше [3]. Способность определять, имеется ли на изображении тот или иной объект, важна для практики, в частности для систем видеонаблюдения. Обнаружив, что на изображении имеются люди, можно приступить к детекции и распознаванию лиц, а в случае наличия автомобилей, перейти на детекцию и распознавание автомобильных номерных знаков. Таким образом, нет необходимости постоянно отрабатывать алгоритмы для обработки объектов других видов. Когда наблюдение за территорией ведется круглосуточно, информация о наличии, либо отсутствии объекта на изображении позволит сократить время обработки изображений и избавит от лишней нагрузки на процессор, что, в свою очередь, позволит быстрее получить нужные данные. Например, можно вести учет въехавших и выехавших автомобилей на охраняемую территорию, учет отгруженных товаров и даже определять – где и в какое время находился определенный сотрудник.

Проблема заключается в том, что не существует универсальных методов определения наличия объекта на изображении. Можно лишь использовать специальные алгоритмы для поиска конкретных объектов, но и в данном случае выбор алгоритмов слишком велик и среди них нет универсального. Например, для поиска лиц существует много алгоритмов, такие как: метод главных компонент (Principal component analysis, PCA) [7], линейный дискриминантный анализ (Linear Discriminant Analysis, LDA) [7], скрытые Марковские модели [7], гибкое сопоставление (Elastic matching, EM) [7], метод опорных векторов [7] и активная модель внешнего вида (Active appearance model, AAM) [7]. И это не полный список методов поиска лиц на изображении. Более обобщенным методом поиска объектов можно считать подход «оптический поток» (Оptical flow) [8], но он годится только для движущихся объектов – в общем случае определяют направление движения объекта и уже работают с примерной формой обнаруженного объекта.

Преобразование Фурье было выбрано вместо вейвлет анализа, потому что дискретное вейвлет преобразование не сохраняет постоянство при сдвиге [6, с. 62]. У преобразования Фурье, согласно свойству сдвига во времени, спектр объекта не меняется, а меняется только фаза, поэтому спектр всегда получается один, где бы на изображении объект ни находился.

Из готовых реализаций преобразования Фурье стоит упомянуть функцию fft в пакете прикладных программ MATLAB [9] и библиотеку FFTW, написанную на С [10]. Все существующие решения не пригодны для полного исследования преобразования Фурье, и их интеграция с нашими проектами стоила бы неоправданное количество времени и сил.

Требуется исследовать различные виды преобразования Фурье, написать комплекс программ для освоения и практического применения преобразования Фурье, исследовать основные свойства преобразования Фурье на практике и выяснить, насколько возможно и практически применимо преобразование Фурье для определения наличия объектов на изображении.

Выбор типа преобразования Фурье

Из анализа литературы по вопросу преобразования Фурье следует, что многие исследователи не имеют единого мнения о предмете. Если рассматривать разных авторов, то одни и те же обозначения в формулах означают разные параметры. Из приведенных ниже формул (1) [4, с. 6], (2) [5, с. 14] и (3) [6, с. 35, с. 38] будем использовать формулу (3), чтобы избежать путаницы в обозначениях.

, (1)

где – сигнал в области времени, – преобразование Фурье, – время, – частота, – мнимая единица.

Читайте также:  Проект домашнего кинотеатра с проектором

, (2)

где функции и составляют пару преобразования Фурье, – преобразование Фурье, – сигнал в области времени, – частота, – время, – мнимая единица.

, (3)

где – преобразование Фурье, – угловая частота, измеряется в рад/с (где частота – обратная величина от времени , ), – мнимая единица, непрерывный сигнал (непрерывно изменяющийся с течением времени), .

Дадим краткий обзор разных видов преобразования Фурье и поясним некоторые их отличительные особенности.

Любой получаемый сигнал можно представить в виде сумм волн синусов и косинусов. Преобразование сигнала с помощью алгоритмов Фурье можно разделить на четыре категории, в зависимости от того, к какому из четырех базовых типов принадлежит этот сигнал. Сигнал может быть непрерывным или дискретным, периодическим или не периодическим. Комбинация этих двух особенностей дает в сумме четыре категории сигнала:

1. Не периодичный непрерывный. К таким сигналам относится, например экспонента и кривая Гаусса. Эти сигналы устремляются в бесконечность в обе стороны и не представляют собой совокупности повторяющихся периодов. Этот тип преобразования называют преобразованием Фурье (Fourier Transform).

2. Периодичный непрерывный. К таким сигналам можно отнести синусоиды, квадратные волны и любые волны с повторяющимся периодом от минус бесконечности до плюс бесконечности. Этот тип преобразования называют ряды Фурье (Fourier Series).

3. Не периодичный дискретный. Эти сигналы только определены дискретными точками между плюс бесконечностью и минус бесконечностью и не имеют повторяющегося периода. Этот тип преобразования называют дискретным преобразованием Фурье во времени (Discrete Time Fourier Transform).

4. Периодичный дискретный. Это дискретные периодические сигналы от минус бесконечности до плюс бесконечности. Этот тип преобразования называют дискретными рядами Фурье (Discrete Fourier Series) или дискретным преобразованием Фурье (Discrete Fourier Transform).

Заметим, что в каждой категории преобразования Фурье сигналы изменяются от минус бесконечности до плюс бесконечности. На практике приходиться работать с дискретными сигналами конечной длины. Так как волны синуса и косинуса определены от минус бесконечности до плюс бесконечности, то невозможно, используя группу бесконечно длинных сигналов, создать что-то конечной длины. Чтобы обойти эту проблему, нужно вообразить, что наш сигнал имеет бесконечное число точек слева и справа от наших реальных данных. Если все эти воображаемые точки имеют значение ноль, то сигнал выглядит как дискретный не периодический, тогда применяется дискретное преобразование Фурье во времени. Если наши воображаемые точки будут копиями исходных N точек сигнала, то сигнал будет выглядеть дискретным периодическим с периодом в N точек. В этом случае применяется дискретное преобразование Фурье (ДПФ).

Чтобы создать не периодический сигнал, необходимо бесконечное число синусоид, поэтому вычислить дискретное преобразование Фурье во времени невозможно. Из вышесказанного, можно сделать вывод, что на практике, с помощью компьютеров, можно использовать только дискретное преобразование Фурье, потому что электронные вычислительные машины работают только с информацией, которая дискретна и имеет конечную длину.

Каждая категория преобразования Фурье разбивается на два вида: в вещественных числах и в комплексных числах. Категория в комплексных числах более сложна для восприятия, но именно на ней основано быстрое преобразование Фурье (БПФ), которое повсеместно и применяется для обработки цифровых сигналов.

Преобразование Фурье для получения спектра изображения

Любое изображение представляет собой двумерный сигнал. Для получения спектра изображения надо взять одномерное преобразование Фурье от каждой строки изображения, а после проделать то же самое с каждым столбцом из полученных данных. Для этой работы необходимо использовать БПФ, так как простое ДПФ слишком медленно обрабатывает изображения, и его стоит применять только лишь для одномерных сигналов, не превышающих 32 точки.

Опишем некоторые свойства преобразования Фурье, которые нам понадобятся для интерпретации спектра изображений.

1. Линейность. Если складывать или вычитать два сигнала в области времени, то их спектры также складываются или вычитаются. Это означает, что можно раскладывать изображения по спектру. Например, имеется в наличие кровавый отпечаток на ткани. Очень сложно отделить отпечаток от ткани, анализируя целое изображение. Однако если с помощью преобразования Фурье перевести изображение в область частот, то будут получены как сильные компоненты, представляющие текстуру ткани, так и слабые разбросанные компоненты, представляющие отпечаток. Если подавить частотные компоненты ткани и провести обратное преобразование Фурье, то ткань исчезнет с изображения и останется только отпечаток пальца, который можно легко рассмотреть [6, с. 57].

2. Сдвиг во времени. Это означает, что при смещении сигнала в области времени, его спектр не изменяется, меняется только фаза.

3. Поворот. Это означает, что при повороте сигнала в области времени, сигнал в области частот поворачивается точно также.

4. Масштабируемость. Это означает, что при расширении сигнала в области времени, его спектр становится уже и наоборот.

Поясним, что представляет собой спектр изображения. В спектре сигнала низкочастотные компоненты показывают те части изображения, где яркость практически не меняется. Высокочастотные компоненты показывают изменения в интенсивности. Таким образом, если оставить только низкие частоты (низкочастотный фильтр), то после обратного преобразования Фурье будут получены лишь расплывчатые пятна. Если же оставить только высокие частоты (высокочастотный фильтр), то останутся в основном только контуры предметов, так как именно на их границах резко меняется яркость изображения.

Поясним, как некоторые свойства преобразования Фурье влияют на изображения.

Читайте также:  Samsung ue32d6100sw прошивка emmc

Рисунок 1. Вычитание спектра прямоугольника из изображения

Согласно свойству Фурье, «сдвиг во времени» при смене положения объекта на изображении, в области частот меняется только фаза, таким образом, по амплитуде можно понять, что это именно этот объект, пусть даже находящийся в другом месте на изображении. Если же на изображении имеется множество разных объектов, то их спектры сложатся, и будет невозможно узнать, присутствовал ли на изображении искомый объект. Разумеется, согласно свойству линейности, можно из спектра изображения вычесть спектр искомого объекта (рисунок 1). Тогда, если объект на изображении присутствовал, то он исчезнет с изображения. Если на изображении искомого предмета не было, то результат будет зависеть от того, как много частот занимает вычитаемый объект. А именно, либо будут небольшие помехи на изображении, либо изображение станет неразборчивым (рисунок 2).

Поясним рисунок 1. На исходном изображении расположены два объекта – прямоугольник и треугольник, на белом фоне. Используя прямое преобразование Фурье, был получен спектр изображения и из него был вычтен спектр прямоугольника на белом фоне. Над полученным спектром было проведено обратное преобразование Фурье. Его результат помещен в правую часть рисунка 1. После выполнения обратного преобразования Фурье цвет треугольника изменился с черного на белый, потому что в спектре вычитаемого прямоугольника содержался также и белый фон, который и был вычтен из изображения, поэтому вместо вещественной части были представлены амплитуды восстановленного сигнала. Мнимые части отображены черным цветом, потому что они равны нулю. Отсутствие прямоугольника на восстановленном изображении показывает, что вычитание спектров проведено успешно, и таким образом это означает, что прямоугольник присутствовал на исходном изображении.

Рисунок 2. Вычитание спектра прямоугольника из изображения, где прямоугольник не присутствовал

Все приведенные выше операции проводились с помощью созданного в процессе исследования комплекса программ.

С помощью разработанного комплекса программ были проведены исследования основных свойств преобразования Фурье (сдвиг, масштабирование, линейность, поворот) на различных изображениях, и теперь можно с достаточной долей уверенности заявить, что для изображений реального мира с помощью преобразования Фурье определить наличие или отсутствие объекта на изображении невозможно, так как при вычитании спектра несуществующего объекта на изображении, на изображении появятся помехи, и их количество зависит от того, как много частот занимал вычитаемый объект. Поэтому вопрос о том, каким универсальным способом можно определить наличие или отсутствие тех или иных объектов на изображении, остается не решенным.

Рецензенты:

Пенский Олег Геннадьевич, доктор технических наук, доцент, профессор кафедры процессов управления и компьютерной безопасности, Пермский государственный национальный исследовательский университет, г. Пермь.

Ясницкий Леонид Нахимович, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной информатики, Пермский государственный гуманитарно-педагогический универ-ситет, г. Пермь.

Рубрика: Информационные технологии

Дата публикации: 23.05.2017 2017-05-23

Статья просмотрена: 2302 раза

Библиографическое описание:

Черногорова Ю. В. Преобразование Фурье как основополагающий частотный метод улучшения изображений // Молодой ученый. — 2017. — №21. — С. 39-42. — URL https://moluch.ru/archive/155/43704/ (дата обращения: 24.12.2019).

Повышение качества изображения остается открытой проблемой современных технологий. В данной работе рассмотрены частотные методы улучшения изображений, а в частности использование Фурье преобразования с различными способами фильтрации для повышения качества картинки.

Ключевые слова: частотная фильтрация, преобразование Фурье, улучшение изображений

Преобразование Фурье (ПФ) является одним из самых действенных частотных методов в области улучшения изображений, однако практическая реализация данного инструмента обработки до сих пор обладает значительной сложностью восприятия. В этой работе мы опишем основные принципы Фурье анализа, а также особенности его применения в качестве частотного метода обработки изображений.

Благодаря работе французского математика Жана Батиста Жозефа Фурье изданной в 1822 году в книге «Аналитическая теория тепла» нам стало известно о том, что любая функция, периодически воспроизводящая свои значения, может быть представлена в виде суммы косинусов (синусов) различных частот, умноженных на некоторые коэффициенты. Позже это сумма стала называться рядом Фурье. Являющееся сейчас чем-то очевидным и общепризнанным, в свое время данное утверждение подверглось большой критике и было признанно только более чем через пол века. В Случае, когда представляемая функция не является периодической, она может быть выражена в виде интеграла от произведения синусов (косинусов) на некоторую постоянную функцию. Данный интеграл и называется преобразованием Фурье. Одной из важнейших особенностей этих представлений является то, что они могут быть полностью восстановлены, совершенно без потери информации при помощи определенной процедуры обращения. Данная особенность делает их широко используемыми фундаментальными инструментами в область фурье-анализа, и предоставляет методы решения для большого спектра задач [1].

Преобразование Фурье используется во многих областях науки — в физике, теории чисел, комбинаторике, обработке сигналов, теории вероятностей, статистике, криптографии, акустике, океанологии, оптике, геометрии и многих других. В обработке сигналов и связанных областях преобразование Фурье обычно рассматривается как декомпозиция сигнала на частоты и амплитуды, то есть обратимый переход от временного пространства (time domain) в частотное пространство (frequency domain). Богатые возможности применения основываются на нескольких полезных свойствах преобразования [1].

Прямое преобразование Фурье представляется собой образ непрерывной функции одной переменной и определяется как:

где (мнимая единица). Для данного образа можно легко получить исходную функцию, воспользовавшись формулой для обратного преобразования Фурье [2]:

Рассмотренные функции являются обратными, а вместе составляют фурье-пару. Преобразования для функции двух переменных происходит аналогичным образом.

Читайте также:  Чем отличается резервный ибп от линейно интерактивного

Дискретное преобразование Фурье — преобразование конечных последовательностей (комплексных) чисел, которое, как и в непрерывном случае, превращает свёртку в поточечное умножение. Используется в цифровой обработке сигналов и в других ситуациях, где необходимо быстро выполнять свёртку, например, при умножении больших чисел. Дискретное преобразования Фурье (ДПФ) на конечной области для функции одной переменной , где определяется как [1]:

,

Данное преобразование является основным в частотной области улучшения изображений. Для прямого дискретного преобразования Фурье так же можно построить обратное. В отличие от преобразований, построенных на бесконечной области, в которых необходимо проводить вычисления, определяющие существование ДПФ и обратного, здесь эта необходимость отпадает. Оно всегда существует.

Теперь нам необходимо понять, что же представляет собой частотная область. Ее определение прямо следует из формулы Эйлера:

Если поставить данное выражение в формулу для ДПФ и использовать нечетность синуса и четность косинуса получим:

,

Таким образом можно заметить, что значение для каждого значения состоит из суммы всех значений функции , которые в свою очередь умножаются на синусы и косинусы разных частот. Частотной областью называется область значений переменной , на которой принимает свои значения функция , поскольку частоты слагаемых, составляющих преобразование, определяются значением переменной . Простыми словами, преобразование Фурье можно сравнить со своего рода математической призмой (по аналогии со стеклянной призмой, которая разлагает свет в зависимости от длины волны (т. е. частоты)). Оно позволяет нам описать функцию, как совокупность составляющих ее частот. Это и является основной задумкой, которая лежит в основе методов линейной фильтрации.

За счет описанного выше свойства, зачастую невозможно установить соответствие между образом и изображением. Однако, интуитивно понятно, что частоты в преобразовании связаны с вариациями яркости на изображении. Например, на картинке более низким значениям частот, обозначенных в начале оси координат Фурье, преобразования будут отвечать плавные изменения яркости в пределах одного однотонного объекта, тогда как по мере удаления от начала координат будут появляться высокие частоты, которые будут соответствовать более быстрому изменению яркости, например, на границах двух разных объектов.

Рассмотрим простую процедуру фильтрации в частотной области. Она содержит следующие шаги [3]:

  1. Перед вычислением преобразования Фурье умножить исходное изображение на , с целью его центрирования и подтверждения что ПФ существует.
  2. Вычислить прямое ДПФ для полученного изображения.
  3. Умножить на функцию фильтра
  4. Вычислить обратное ДПФ от значения, полученного на шаге 3.
  5. Выделить вещественную часть результата.
  6. Умножить на для получения финального значения.

Только что описанная процедура фильтрации изображена на рис 1.

Рис. 1. Основные этапы фильтрации в частотной области

Значение множителя может быть различным, в зависимости от необходимых нам свойств. Низкие частоты Фурье преобразования отвечают за возникновение преобладающих значений яркости на гладких участках сети, в то время как высокие частоты ответственны за такие детали, как контуры и шум. Таким образом, возникает возможность создания высокочастотных и низкочастотных фильтров. Высокочастотные фильтры ослабляют значения низких частот, пропуская только высокие. Низкочастотный действует в точности наоборот. После его применения изображение будет содержать меньше резких деталей, поскольку большие значения яркости подавлены.

Несмотря на то, что преобразование Фурье является наилучшим инструментом частотной фильтрации, можно достигнуть еще большей эффективности его использования в совокупности с методами пространственной фильтрации. Наиболее важная взаимосвязь областей пространственной и частотной фильтрации достигается при помощи свертки, процедуры, в основе которой лежит просмотр каждой области изображения при помощи маски фильтра для поиска определенной величины. Формально дискретная свертка двух функций и определяется как [4]:

где размеры свертки. В отличие от частотной фильтрации, в пространственной используются фильтры гораздо меньшего размера. С другой стороны фильтрация в частотной области почти всегда оказывается наглядной. Таким образом, мы можем задать фильтр в частотной области, вычислить его прообраз, а затем использовать полученный пространственный фильтр, как ориентир для построения маски меньшего размера.

Фурье преобразования являются частным случаем гауссовых функций. На их основе могут быть построены и более сложные фильтры, например высокочастотный фильтр состоящий из двух гауссовых функций.

Анализ в частотной области позволяет выявить значительное число методов того, как выбрать фильтр для улучшения изображения. Таким образом, наш подход состоит в отыскании небольшой пространственной маски, которая бы отражала сущность метода фильтрации [4,5]

К достоинствам методов линейной фильтрации, в том числе преобразования Фурье, следует отнести их ясный физический смысл и простоту анализа результатов. Однако при резком ухудшении соотношения сигнал/шум, при возможных вариантах площади зашумления и наличии высокоамплитудного импульсного шума линейные методы предварительной обработки могут оказаться недостаточными. В этой ситуации значительную помощь оказывают нелинейные методы, оставляя в качестве основы именно частотную фильтрацию.

  1. Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений //М.: Техносфера. — 2012. — Т. 1104.
  2. Залогова Л. Компьютерная графика. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2005.
  3. Лукин А. Введение в цифровую обработку сигналов //М.: МГУ. Лаборатория компьютерной графики и мультимедиа. — 2002.
  4. Айфичер Э. С. Цифровая обработка сигналов: практ. подход: [пер. с англ.]. — Издательский дом Вильямс, 2008.
  5. Чутченко Ю. Е., Преображенский А. П. Исследование возможности улучшения качества изображения //Территория науки. — 2007. — №. 3.
Комментировать
705 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
Adblock
detector