Предел с факториалом решение

Факториал числа $n!$ равен произведению чисел от 1 до $n$. Например, $5! = 1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5$. Для решения примеров на пределы с факториалами понадобится знать и понимать формулу разложения на множители. $$ (n+1)! = n!(n+1) qquad (1) $$

Например, $5! = 4! cdot 5 $, или $5! = 3! cdot 4 cdot 5$, а можно еще так $5! = 2! cdot 3 cdot 4 cdot 5 $.

Основная суть идеи:

Выносим наименьший факториал числа за скобки в числителе и знаменателе
Сокращаем факториалы, избавляя тем самым предел от них
Вычисляем предел подходящим способом

Пример 1

Вычислить предел с факториалами $lim_limits frac<(n+1)!>$

Решение

Подставляя $x=infty$ в предел получаем неопределенность бесконечность делить на бесконечность. Избавимся от факториалов. Для этого используем формулу (1) для их разложения на множители.

Подставляем в предел полученное выражение и сокращаем на $n!$ числитель со знаменателем.

Теперь подставляя бесконечность в предел вычисляем ответ.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ $$lim_limits frac <(n+1)!>= 0 $$

Определяем наименьший факториал $(2n+1)!$. Его нужно вынести за скобки. Но перед этим нужно разложить остальные факториалы на множители, одним из которых будет $(2n+1)!$. Для этого воспользуемся формулой (1).

$$(2n+2)! = (2n+1)! cdot (2n+2) $$ $$ (2n+3)! = (2n+1)! cdot (2n+2)cdot(2n+3) $$

Выполняем замену в пределе на полученные выражения.

Выносим общий множитель с факториалом в числителе за скобки и выполняем сокращение со знаменателем.

Раскрываем полученные скобки и сокращаем на $2n+3$.

Пример 2

Решить предел с факториалом $ lim_limits frac<(2n+1)! + (2n+2)!> <(2n+3)!>$

Решение

Ответ

$$ lim_limits frac<(2n+1)! + (2n+2)!> <(2n+3)!>= 0 $$

Понятно, что предел имеет неопределенность $frac<infty><infty>$. Попробуем её устранить избавившись от факториалов. Сразу находим среди них наименьший $n!$. Его нужно будет вынести за скобки. Но перед этим остальные факториалы нужно разложить по формуле (1) и затем подставить в предел.

Далее раскрываем скобки, попутно упрощая выражения, и затем выносим $n$.

Осталось выполнить сокращение на $n$ и получить ответ.

Итак, сервисы по нахождению пределов онлайн:

Решение пределов функции

Это он-лайн сервис в два шага:

Ввести функцию, предел которой необходимо вычислить
Ввести точку, в которой надо вычислить предел

Применение правила Лопиталя

Представлен калькулятор, который помогает вычислять пределы с помошью правила Лопиталя. Он не только даёт ответ, но ещё предоставляет подробное решение с помощью этого правила.

Пример 3

Найти предел $lim_limits frac<3(n+1)!> <2(n+1)!-n!>$

Решение

kor.giorgio@gmail.com Выход

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам если нужно вычислить предел функции. Программа решения пределов не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс вычисления предела.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> –> Введите выражение функции
Вычислить предел

В решении ошибка
Если вы считаете, что задача решена не правильно, то нажмите на эту кнопку.

Предел функции при х->х

Пусть функция f(x) определена на некотором множестве X и пусть точка ( x_0 in X ) или ( x_0
otin X )

Возьмем из X последовательность точек, отличных от х:
x₁, x₂, x₃, . x_n, . (1)
сходящуюся к х*. Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность
f(x₁), f(x₂), f(x₃), . f(x_n), . (2)
и можно ставить вопрос о существовании ее предела.

Определение. Число А называется пределом функции f(х) в точке х = х (или при х -> x), если для любой сходящейся к x последовательности (1) значений аргумента x, отличных от x соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к числу A.

Символически это записывается так:
$$ lim_ < f(x)>= A $$

Функция f(x) может иметь в точке x только один предел. Это следует из того, что последовательность
_n)> имеет только один предел.

Существует другое определение предела функции.

Определение Число А называется пределом функции f(x) в точке х = x, если для любого числа ( varepsilon > 0 ) существует число ( delta > 0 ) такое, что для всех ( x in X, ; x
eq x_0 ), удовлетворяющих неравенству ( |x-x_0| 0) (exists delta > 0) (forall x in X, ; x
eq x_0, ; |x-x_0|

Предел функции при x->x– и при x->x+

В дальнейшем будут использованы понятия односторонних пределов функции, которые определяются следующим образом.

Определение Число А называется правым (левым) пределом функции f(x) в точке x, если для любой сходящейся к x последовательности (1), элементы x_n которой больше (меньше) x, соответствующая последовательность (2) сходится к А.

Символически это записывается так:
$$ lim_ f(x) = A ; left( lim_ f(x) = A
ight) $$

Можно дать равносильное определение односторонних пределов функции «на языке ( varepsilon – delta )»:

Определение число А называется правым (левым) пределом функции f(х) в точке x, если для любого ( varepsilon > 0 ) существует ( delta > 0 ) такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенствам ( x_0 0) (exists delta > 0) (forall x, ; x_0 0) (exists delta > 0) (forall x, ; x_0 -delta

Предел функции при ( x o infty ), при ( x o -infty ) и при ( x o +infty )

Кроме рассмотренных понятий предела функции при x->x и односторонних пределов существует также понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности.

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при ( x o infty ), если для любой бесконечно большой последовательности (1) значений аргумента соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к A.

Символическая запись:
$$ lim_ f(x) = A $$

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при ( x o +infty ; (x o -infty) ) , если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента, элементы x_n которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность значений функции сходится к А.

Символическая запись:
$$ lim_ f(x) = A ; left( lim_ f(x) = A
ight) $$

Теоремы о пределах функций

Определение предела функции «на языке последовательностей» дает возможность перенести доказанные выше теоремы о пределах последовательностей на функции. Покажем это на примере двух теорем.

Теорема. Пусть функции f(х) и g(х) имеют в точке x пределы В и С. Тогда функции f(x)±g(x), f(x) g(x) и ( frac ) (при ( C
eq 0 ) ) имеют в точке x пределы, равные соответственно В±С, ВС и ( frac ).

Теорема. Пусть функции f(x), g(x) и h(x) определены в некоторой окрестности точки x, за исключением, быть может, самой точки x, и функции f(х), h(x) имеют в точке x предел, равный А, т.е. $$ lim_ f(x) = lim_ h(x) = A $$
Пусть, кроме того, выполняются неравенства ( f(x) leq g(x) leq h(x) ). Тогда $$ lim_ g(x) = A $$

Теорема Лопиталя. Если $$ lim_ f(x) = lim_ g(x) = 0 $$ или (infty ) f(x) и g(x) дифференцируемы в окрестности x , и ( g'(x)
eq 0 ) в окрестности x , и существует $$ lim_ frac$$ то существует $$ lim_ frac = lim_ frac$$

Т.е. теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Теорема Лопиталя позволяет раскрывать неопределённости вида ( frac<0> <0>) и ( frac<infty> <infty>).