No Image

Математическое выражение для кривой лиссажу

СОДЕРЖАНИЕ
939 просмотров
10 марта 2020

Фигу́ры Лиссажу́ — траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях.

Впервые изучены французским учёным Жюлем Антуаном Лиссажу.

Вид фигур зависит от соотношения между периодами (частотами), фазами и амплитудами обоих колебаний. В простейшем случае равенства обоих периодов фигуры представляют собой эллипсы, которые при разности фаз 0 или π <displaystyle pi > вырождаются в отрезки прямых, а при разности фаз π 2 <displaystyle <frac <pi ><2>>> и равенстве амплитуд превращаются в окружность.

Если периоды обоих колебаний близки, то разность фаз линейно изменяется, вследствие чего наблюдаемый эллипс всё время деформируется. Это явление используется в электронике для сравнения частот и подстройки одной частоты под вторую — опорную частоту.

При многократно отличающихся по величине периодах колебаний фигуры Лиссажу представляют собой запутанную картину и не наблюдаются, например, на экране осциллографа, — в этом случае наблюдается светящийся прямоугольник.

Если отношение периодов представляет собой рациональное число, то через промежуток времени, равный наименьшему кратному обоих периодов, движущаяся точка снова возвращается в исходное положение, причем с совпадающим с исходным вектором скорости точки, в результате получаются замкнутые траектории. Если отношение периодов иррациональное число, то порождаются незамкнутые траектории.

Фигуры Лиссажу вписываются в прямоугольник, центр которого совпадает с началом координат, а стороны параллельны осям координат и расположены по обе стороны от них на расстояниях, равных амплитудам колебаний.

Математическое выражение для кривой Лиссажу [ править | править код ]

< x ( t ) = A sin ⁡ ( a t + δ ) y ( t ) = B sin ⁡ ( b t ) <displaystyle left<<egin&x(t)=Asin(at+delta )\&y(t)=Bsin(bt)\end>
ight.>

где A, B — амплитуды колебаний, a, b — частоты, δ — сдвиг фаз

Вид кривой сильно зависит от соотношения a/b. Когда соотношение равно 1, фигура Лиссажу имеет вид эллипса, при определённых условиях она имеет вид окружности (A = B, δ = π/2 радиан) и отрезка прямой (δ = 0). Ещё один пример фигуры Лиссажу — парабола (b/a = 2, δ = π/4). При других соотношениях фигуры Лиссажу представляют собой более сложные фигуры, которые являются замкнутыми при условии a/b — рациональное число.

Читайте также:  Тег для ссылки html

δ = N − 1 N π 2 <displaystyle delta =<frac ><frac <pi ><2>> >

являются полиномами Чебышёва первого рода степени N.

Примеры [ править | править код ]

Анимация внизу показывает изменение кривых при постоянно возрастающем соотношении a b <displaystyle <frac >> от 0 до 1 с шагом 0.01. (δ=0)

Примеры фигур Лиссажу ниже с δ = π/2, нечётным натуральным числом a, и также натуральным числом b, и |ab| = 1.

Фигу́ры Лиссажу́ — траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях.

Впервые изучены французским учёным Жюлем Антуаном Лиссажу.

Вид фигур зависит от соотношения между периодами (частотами), фазами и амплитудами обоих колебаний. В простейшем случае равенства обоих периодов фигуры представляют собой эллипсы, которые при разности фаз 0 или π <displaystyle pi > вырождаются в отрезки прямых, а при разности фаз π 2 <displaystyle <frac <pi ><2>>> и равенстве амплитуд превращаются в окружность.

Если периоды обоих колебаний близки, то разность фаз линейно изменяется, вследствие чего наблюдаемый эллипс всё время деформируется. Это явление используется в электронике для сравнения частот и подстройки одной частоты под вторую — опорную частоту.

При многократно отличающихся по величине периодах колебаний фигуры Лиссажу представляют собой запутанную картину и не наблюдаются, например, на экране осциллографа, — в этом случае наблюдается светящийся прямоугольник.

Если отношение периодов представляет собой рациональное число, то через промежуток времени, равный наименьшему кратному обоих периодов, движущаяся точка снова возвращается в исходное положение, причем с совпадающим с исходным вектором скорости точки, в результате получаются замкнутые траектории. Если отношение периодов иррациональное число, то порождаются незамкнутые траектории.

Фигуры Лиссажу вписываются в прямоугольник, центр которого совпадает с началом координат, а стороны параллельны осям координат и расположены по обе стороны от них на расстояниях, равных амплитудам колебаний.

Математическое выражение для кривой Лиссажу [ править | править код ]

< x ( t ) = A sin ⁡ ( a t + δ ) y ( t ) = B sin ⁡ ( b t ) <displaystyle left<<egin&x(t)=Asin(at+delta )\&y(t)=Bsin(bt)\end>
ight.>

где A, B — амплитуды колебаний, a, b — частоты, δ — сдвиг фаз

Читайте также:  Filip 2 умные часы для детей отзывы

Вид кривой сильно зависит от соотношения a/b. Когда соотношение равно 1, фигура Лиссажу имеет вид эллипса, при определённых условиях она имеет вид окружности (A = B, δ = π/2 радиан) и отрезка прямой (δ = 0). Ещё один пример фигуры Лиссажу — парабола (b/a = 2, δ = π/4). При других соотношениях фигуры Лиссажу представляют собой более сложные фигуры, которые являются замкнутыми при условии a/b — рациональное число.

δ = N − 1 N π 2 <displaystyle delta =<frac ><frac <pi ><2>> >

являются полиномами Чебышёва первого рода степени N.

Примеры [ править | править код ]

Анимация внизу показывает изменение кривых при постоянно возрастающем соотношении a b <displaystyle <frac >> от 0 до 1 с шагом 0.01. (δ=0)

Примеры фигур Лиссажу ниже с δ = π/2, нечётным натуральным числом a, и также натуральным числом b, и |ab| = 1.

Этот топик не приурочен ко дню рождения, но всё-таки пару слов скажу об авторе.

Жюль Антуан Лиссажу (фр. Jules Antoine Lissajous; 4 марта 1822, Версаль, Франция — 24 июня 1880) — французский математик, в честь которого названы фигуры Лиссажу. Член-корреспондент Парижской Академии наук (1879).

Родился в Версале 4 марта 1822 года. Учился в лицее Гоша́ (Версаль). Стал профессором в лицее Луи, в 1850 году представил диссертацию о вибрирующей решётке. Изучал акустические колебания. Умер в 1880 году.

А вообще просто хочу рассказать и показать "красивые картинки". Наверняка многие с ними знакомы, но всё равно, надеюсь, что это будет интересно!

Фигуры Лиссажу
Фигуры Лиссажу — замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Впервые изучены французским учёным Жюлем Антуаном Лиссажу. Вид фигур зависит от соотношения между периодами (частотами), фазами и амплитудами обоих колебаний. В простейшем случае равенства обоих периодов фигуры представляют собой эллипсы, которые при разности фаз 0 или `pi` вырождаются в отрезки прямых, а при разности фаз `pi/2` и равенстве амплитуд превращаются в окружность. Если периоды обоих колебаний неточно совпадают, то разность фаз всё время меняется, вследствие чего эллипс всё время деформируется. При существенно различных периодах фигуры Лиссажу не наблюдаются. Однако, если периоды относятся как целые числа, то через промежуток времени, равный наименьшему кратному обоих периодов, движущаяся точка снова возвращается в то же положение — получаются фигуры Лиссажу более сложной формы. Фигуры Лиссажу вписываются в прямоугольник, центр которого совпадает с началом координат, а стороны параллельны осям координат и расположены по обе стороны от них на расстояниях, равных амплитудам колебаний.

Читайте также:  49151 Код какой страны

где A, B — амплитуды колебаний, a, b — частоты, δ — сдвиг фаз

Вид кривой сильно зависит от соотношения a/b. Когда соотношение равно 1, фигура Лиссажу имеет вид эллипса, при определённых условиях она имеет вид окружности (A = B, δ = π/2 радиан) и отрезка прямой (δ = 0). Ещё один пример фигуры Лиссажу — парабола (a/b = 2, δ = π/2). При других соотношениях фигуры Лиссажу представляют собой более сложные фигуры, которые являются замкнутыми при условии a/b — рациональное число.

Фигуры Лиссажу, где a = 1, b = N (N — натуральное число) и

`delta=(N-1)/N * pi/2`
являются полиномами Чебышёва первого рода степени N.

Примеры
Анимация внизу показывает изменение кривых при постоянно возрастающем соотношении a/b от 0 до 1 с шагом 0.01. (δ=0)

Два видео от НИЯУ МИФИ: фигуры Лиссажу из песка и на экране осциллографа. Очень впечатляет!

Что еще посмотреть интересного.
1. Фигуры Лиссажу – первая любовь каждого программиста. Арбуз.
2. Здесь много всяких картинок, на которые очень интересно посмотреть! Фигуры Лиссажу и фигуры Кушелева на сфере
3. Биография на английском Jules Antoine Lissajous
4. Раз пошла такая пьянка, еще на Арбузе Космические овалы Кассини Это не кривые Лиссажу, но просто, что было. ))

И вот напоследок, для тех, кто посмотрел на фигуры Лиссажу на осциллографе, а также, для тех, кто скептически воспринимает нынешние реалии, демотиватор.

Комментировать
939 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
Adblock
detector