Как определить аргумент комплексного числа

Длина радиус-вектора, который изображает заданное комплексное число $z=a+bi$, называется модулем данного комплексного числа.

Модуль заданного комплексного числа вычисляется по следующей формуле:

Вычислить модуль заданных комплексных чисел $z_ <1>=13,, , z_ <2>=4i,, , , z_ <3>=4+3i$.

Модуль комплексного числа $z=a+bi$ вычислим по формуле: $r=sqrt <2>+b^ <2>> $.

Для исходного комплексного числа $z_ <1>=13$ получим $r_ <1>=|z_ <1>|=|13+0i|=sqrt <13^<2>+0^ <2>> =sqrt <169>=13$

Для исходного комплексного числа $, z_ <2>=4i$ получим $r_ <2>=|z_ <2>|=|0+4i|=sqrt <0^<2>+4^ <2>> =sqrt <16>=4$

Для исходного комплексного числа $, z_ <3>=4+3i$ получим $r_ <3>=|z_ <3>|=|4+3i|=sqrt <4^<2>+3^ <2>> =sqrt <16+9>=sqrt <25>=5$

Угол $varphi $, образованный положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором $overrightarrow $, который соответствует заданному комплексному числу $z=a+bi$, называется аргументом данного числа и обозначается $arg z$.

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Модуль и аргумент заданного комплексного числа в явном виде используются при представлении комплексного числа в тригонометрической или показательной форме:

$z=rcdot (cos varphi +isin varphi )$ – тригонометрическая форма;
$z=rcdot e^ $ – показательная форма.

Записать комплексное число в тригонометрической и показательной формах, заданное следующими данными: 1) $r=3;varphi =pi $; 2) $r=13;varphi =frac<3pi > <4>$.

1) Подставим данные $r=3;varphi =pi $ в соответствующие формулы и получим:

$z=3cdot (cos pi +isin pi )$ – тригонометрическая форма

$z=3cdot e^ $ – показательная форма.

2) Подставим данные $r=13;varphi =frac<3pi > <4>$ в соответствующие формулы и получим:

$z=13cdot (cos frac<3pi > <4>+isin frac<3pi > <4>)$ – тригонометрическая форма

$z=13cdot e^ <4>> $ – показательная форма.

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Определить модуль и аргумент заданных комплексных чисел:

1) $z=sqrt <2>cdot (cos 2pi +isin 2pi )$; 2) $z=frac<5> <3>cdot (cos frac<2pi > <3>+isin frac<2pi > <3>)$; 3) $z=sqrt <13>cdot e^ <4>> $; 4) $z=13cdot e^ $.

Модуль и аргумент найдем, используя формулы записи заданного комплексного числа в тригонометрической и показательной формах соответственно

[z=rcdot (cos varphi +isin varphi );] [z=rcdot e^ .]

1) Для исходного комплексного числа $z=sqrt <2>cdot (cos 2pi +isin 2pi )$ получим $r=sqrt <2>;varphi =2pi $.

2) Для исходного комплексного числа $z=frac<5> <3>cdot (cos frac<2pi > <3>+isin frac<2pi > <3>)$ получим $r=frac<5> <3>;varphi =frac<2pi > <3>$.

3) Для исходного комплексного числа $z=sqrt <13>cdot e^ <4>> $ получим $r=sqrt <13>;varphi =frac<3pi > <4>$.

4) Для исходного комплексного числа $z=13cdot e^ $ получим $r=13;varphi =pi $.

Аргумент $varphi $ заданного комплексного числа $z=a+bi$ можно вычислить, используя следующие формулы:

На практике для вычисления значения аргумента заданного комплексного числа $z=a+bi$ обычно пользуются формулой:

или решают систему уравнений

Вычислить аргумент заданных комплексных чисел: 1) $z=3$; 2) $z=4i$; 3) $z=1+i$; 4) $z=-5$; 5) $z=-2i$.

Так как $z=3$, то $a=3,b=0$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

[varphi =arg z=arctgfrac<0> <3>=arctg0=0.]

Так как $z=4i$, то $a=0,b=4$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

[varphi =arg z=arctgfrac<4> <0>=arctg(infty )=frac<pi > <2>.]

Так как $z=1+i$, то $a=1,b=1$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, решая систему (**):

Из курса тригонометрии известно, что $cos varphi =sin varphi =frac <sqrt<2>> <2>$ для угла, соответствующего первой координатной четверти и равного $varphi =frac<pi > <4>$.

Так как $z=-5$, то $a=-5,b=0$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

[varphi =arg z=arctgfrac<0> <-5>+pi =arctg0+pi =0+pi =pi .]

Так как $z=-2i$, то $a=0,b=-2$. Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

[varphi =arg z=arctgfrac<-2> <0>=arctg(-infty )=frac<3pi > <2>.]

Аргумент вещественных чисел равен соответственно:

0 для положительного числа;
$pi $ для отрицательного числа.

Аргумент чисто мнимых чисел равен соответственно:

$frac<pi ><2>$ с положительной мнимой частью;
$frac<3pi ><2>$ с отрицательной мнимой частью.

Определить модуль и аргумент комплексных чисел, изображенных на комплексной плоскости (рис.)

Число $z_ <1>$ изображено точкой $(3;0)$, следовательно, длина радиус-вектора равна 3, т.е. $r=3$, а аргумент $varphi =0$ по примечанию 2.

Число $z_ <2>$ изображено точкой $(-2;0)$, следовательно, длина соответствующего радиус-вектора равна 2, т.е. $r=2$, а аргумент $varphi =pi $ по примечанию 2.

Число $z_ <3>$ изображено точкой $(0;1)$, следовательно, длина соответствующего радиус-вектора равна 1, т.е. $r=1$, а аргумент $varphi =frac<pi > <2>$ по примечанию 3.

Число $z_ <4>$ изображено точкой $(0;-1)$, следовательно, длина соответствующего радиус-вектора равна 1, т.е. $r=1$, а аргумент $varphi =frac<3pi > <2>$ по примечанию 3.

Число $z_ <5>$ изображено точкой $(2;2)$, следовательно, длина соответствующего радиус-вектора равна $sqrt <2^<2>+2^ <2>> =sqrt <4+4>=sqrt <8>=2sqrt <2>$, т.е. $r=2sqrt <2>$, а аргумент $varphi =frac<pi > <4>$ по свойству прямоугольного треугольника.

Так и не нашли ответ
на свой вопрос?

Просто напиши с чем тебе
нужна помощь

Длина вектора, изображающего комплексное число, называется модулем комплексного числа. Модуль любого комплексного числа, не равного нулю, есть положительное число. Модуль комплексного числа a + b · i обозначается | a + b · i |, а также буквой r. Из чертежа видно, что:

Модуль действительного числа, совпадает с его абсолютным значением. Сопряженные комплексные числа a + b · i и a – b · i имеют один и тотже модуль.

Угол φ между осью абсцисс и вектором OM, изображающим комплексное число a + b · i , называется аргументом комплексного числа a + b · i

Каждое не равное нулю комплексное число имеет бесчисленное множество аргументов, отлючающихся друг от друга на целое число полных оборотов (т.е. на 360°·k, где k – любое целое число). Аргумент комплексного числа связан с его координатами следующими формулами:

Однако ни одна из этих формул в отдельности не позволяет найти аргумент. Для того чтобы найти аргумент комплексного числа, эти формулы надо использовать в совокупности, а также учитывать номер четверти, на координатной плоскости, в которой находится комплексное число.

Задание. Найти |z|, arg (z )