Чтобы найти вторую производную (это тоже самое, что и производная второго порядка), то надо воспользоваться онлайн калькулятором по вычислению производных первого порядка.
Этот сервис вычисляет первые производные (тоже что и производные первого порядка).
Приведем пример, как найти производную второго порядка от функции x*sin(x):
- В вышеуказанном калькуляторе вводим x*sin(x) – этим самым мы вычисляем производную первого порядка (должно получиться x*cos(x) + sin(x), копируем найденное )
- Теперь выполняем аналогичные операции в калькуляторе, но с найденной первой производной, а именно вводим функцию (вставляем из копированного) x*cos(x) + sin(x)
- Получаем ответ (но это только наш пример!): 2*cos(x) – x*sin(x)
Чтобы найти производную третьего порядка (тоже самое что и третья производная функции), то надо проделать первые два пункта выше, в третьем же пункте опять подставить в калькулятор.
Для нашего примера, надо подставить 2*cos(x) – x*sin(x) и получим ответ для третьей производной (опять же это наш пример): -3.0*sin(x) – x*cos(x)
© Контрольная работа РУ – калькуляторы онлайн
Всё очень просто. Вторая производная – это производная от первой производной: 
Стандартные обозначения второй производной: 
, 
или 
(дробь читается так: «дэ два игрек по дэ икс квадрат»). Чаще всего вторую производную обозначают первыми двумя вариантами. Но третий вариант тоже встречается, причем, его очень любят включать в условия контрольных заданий, например: «Найдите функции…». А студент сидит и битый час чешет репу, что это вообще такое.
Рассмотрим простейший пример. Найдем вторую производную от функции 
.
Для того чтобы найти вторую производную, как многие догадались, нужно сначала найти первую производную:
Теперь находим вторую производную:
Рассмотрим более содержательные примеры.
Найти вторую производную функции 
Найдем первую производную: 
На каждом шаге всегда смотрим, нельзя ли что-нибудь упростить? Сейчас нам предстоит дифференцировать произведение двух функций, и мы избавимся от этой неприятности, применив известную тригонометрическую формулу 
. Точнее говоря, использовать формулу будем в обратном направлении: 
:
Находим вторую производную: 
Можно было пойти другим путём – понизить степень функции еще перед дифференцированием, используя формулу 
:
Если интересно, возьмите первую и вторую производные снова. Результаты, естественно, совпадут.
Отмечу, что понижение степени бывает очень выгодно при нахождении частных производных функции. Здесь же оба способа решения будут примерно одинаковой длины и сложности.
Как и для первой производной, можно рассмотреть задачу нахождения второй производной в точке.
Например: Вычислим значение найденной второй производной в точке 
:
Необходимость находить вторую производную и вторую производную в точке возникает при исследовании графика функции на выпуклость/вогнутость и перегибы.
Найти вторую производную функции 
. Найти 
Это пример для самостоятельного решения.
Аналогично можно найти третью производную, а также производные более высоких порядков. Такие задания встречаются, но встречаются значительно реже. Можно рассказать о специфических приемах, формуле Лагранжа, и по мере наличия времени я обязательно напишу отдельный методический материал.
Решения и ответы:
Пример 2: Найдем производную:
Вычислим значение функции в точке 
:
Пример 4: Найдем производную:
Вычислим производную в заданной точке:
Пример 6: Уравнение касательной составим по формуле 
1) Вычислим значение функции в точке 
:
2) Найдем производную. Перед дифференцированием функцию выгодно упростить:
3) Вычислим значение производной в точке :
4) Подставим значения 
, 
и 
в формулу :
Пример 8: Преобразуем функцию:
Найдем производную:
Запишем дифференциал:
Пример 10: Найдем производную:
Запишем дифференциал:
Вычислим дифференциал в точке 
:
Пример 12: Найдем первую производную:
Найдем вторую производную:
Вычислим: 
Автор: Емелин Александр
Производная по определению (через предел). Примеры решений
Когда человек сделал первые самостоятельные шаги в изучении математического анализа и начинает задавать неудобные вопросы, то уже не так-то просто отделаться фразой, что «дифференциальное исчисление найдено в капусте». Поэтому настало время набраться решимости и раскрыть тайну появления на свет таблицы производных и правил дифференцирования. Начало положено в статье о смысле производной, которую я настоятельно рекомендую к изучению, поскольку там мы как раз рассмотрели понятие производной и начали щёлкать задачи по теме.
Этот же урок носит ярко выраженную практическую направленность, более того, рассматриваемые ниже примеры, в принципе, можно освоить и чисто формально (например, когда нет времени/желания вникать в суть производной). Также крайне желательно (однако опять не обязательно) уметь находить производные «обычным» методом – хотя бы на уровне двух базовых занятий: Как найти производную? и Производная сложной функции.
Но без чего-чего сейчас точно не обойтись, так это без пределов функций. Вы должны ПОНИМАТЬ, что такое предел и уметь решать их, как минимум, на среднем уровне. А всё потому, что производная функции 
в точке 
задаётся формулой: 
Напоминаю обозначения и термины:
называют приращением аргумента;
– приращением функции;
– это ЕДИНЫЕ символы («дельту» нельзя «отрывать» от «икса» или «игрека»).
Очевидно, что является «динамической» переменной, – константой и результат вычисления предела 
– ЧИСЛОМ. И в самом деле, ведь производная в точке 
– это число (см. практикум Простейшие задачи дифференцирования).
В качестве точки можно рассмотреть ЛЮБОЕ значение 
, принадлежащее области определения функции , в котором существует производная.
! Примечание: оговорка «в котором существует производная» – в общем случае существенна! Так, например, точка 
хоть и входит в область определения функции 
, но производной 
там не существует. Поэтому формула 
не применима в точке , и укороченная формулировка без оговорки будет некорректна. Это же замечание следует делать для некоторых других функций с «обрывами» графика, в частности, для арксинуса, арккосинуса, а также у функций, графики которых содержат «плохие» остриё и изломы. Данные моменты подробнее разъясняются в статье Интервалы монотонности и экстремумы функции.
Таким образом, после замены 
, получаем вторую рабочую формулу: 
Обратите внимание на коварное обстоятельство, которое может запутать чайника: в данном пределе «икс», будучи сам независимой переменной, исполняет роль статиста, а «динамику» задаёт опять же приращение . Результатом вычисления предела 
является производная функция 
.
Исходя из вышесказанного, сформулируем условия двух типовых задач:
– Найти производную в точке, используя определение производной.
– Найти производную функцию, используя определение производной. Эта версия, по моим наблюдениям, встречается заметно чаще и ей будет уделено основное внимание.
Принципиальное отличие заданий состоит в том, что в первом случае требуется найти число, а во втором – функцию.
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Определение производных высших порядков
Здесь мы рассматриваем случай, когда переменная y зависит от переменной x явным образом:
.
Дифференцируя функцию по переменной x , получаем производную первого порядка, или просто производную:
.
В результате получаем новую функцию , которая является производной функции . Дифференцируя эту новую функцию по переменной x , получаем производную второго порядка:
.
Дифференцируя функцию , получаем производную третьего порядка:
.
И так далее. Дифференцируя исходную функцию n раз, получаем производную n -го порядка или n-ю производную:
.
Производные могут обозначаться штрихами, римскими цифрами, арабскими цифрами в скобках или дробью из дифференциалов. Например, производные третьего и четвертого порядков могут обозначаться так:
;
.
Ниже приведены формулы, которые могут быть полезными при вычислении производных высших порядков.
Полезные формулы производных n-го порядка
Производная суммы функций:
,
где – постоянные.
Формула Лейбница производной произведения двух функций:
,
где
– биномиальные коэффициенты.
Пример 1
Найти производные первого и второго порядка следующей функции:
.
Находим производную первого порядка. Выносим постоянную за знак производной и применяем формулу из таблицы производных:
.
Применяем правило дифференцирования сложной функции:
.
Здесь .
Применяем правило дифференцирования сложной функции и используем найденные производные:
.
Здесь .
Итак, мы нашли производную первого порядка:
.
Чтобы найти производную второго порядка, нам нужно найти производную от производной первого порядка, то есть от функции:
.
Чтобы не путаться с обозначениями, обозначим эту функцию буквой :
(П1.1) .
Тогда производная второго порядка от исходной функции является производной от функции :
.
Находим производную от функции . Это проще сделать с помощью логарифмической производной. Логарифмируем (П1.1):
.
Теперь дифференцируем:
(П1.2) .
Но – это постоянная. Ее производная равна нулю. Производную от мы уже нашли. Находим остальнве производные по правилу дифференцирования сложной функции.
;
;
.
Подставляем в (П1.2):
.
Отсюда
.
Пример 2
Найти производную третьего порядка:
.
Находим производную первого порядка. Для этого выносим постоянную за знак производной, используем таблицу производных и применяем правило нахождения производной сложной функции .
.
Здесь .
Итак, мы нашли производную первого порядка:
.
Находим производную второго порядка. Для этого находим производную от . Применяем формулу производной дроби.
.
Производная второго порядка:
.
Теперь находим искомую производную третьего порядка. Для этого дифференцируем .
;
;
.
Производная третьего порядка равна
.
Пример 3
Найти производную шестого порядка следующей функции:
.
Если раскрыть скобки, то будет ясно, что исходная функция является многочленом степени . Запишем ее в виде многочлена:
,
где – постоянные коэффициенты.
Далее применим формулу n-й производной степенной функции:
.
Для производной шестого порядка ( n = 6 ) имеем:
.
Отсюда видно, что при . При имеем:
.
Используем формулу производной суммы функций:
.
Таким образом, чтобы найти производную шестого порядка исходной функции, нам надо найти только коэффициент многочлена при старшей степени . Находим его, перемножая старшие степени в произведениях сумм исходной функции:
.
Отсюда . Тогда
.
Пример 4
Найти n-ю производную функции
.
Пример 5
Найти n-ю производную следующей функции:
,
где и – постоянные.
В этом примере вычисления удобно выполнять с использованием комплексных чисел. Пусть мы имеем некоторую комплексную функцию
(П5.1) ,
где и – функции от действительной переменной x ;
– мнимая единица, .
Дифференцируя (П.1) n раз, имеем:
(П5.2) .
Иногда проще найти n-ю производную от функции . Тогда n-е производные функций и определяются как действительная и мнимая части от n-й производной :
;
.
Применим этот прием для решения нашего примера. Рассмотрим функцию
.
Здесь мы применили формулу Эйлера
,
и ввели обозначение
.
Тогда n-я производная исходной функции определяется по формуле:
.
Найдем n-ю производную функции
.
Для этого применим формулу:
.
В нашем случае
.
Тогда
.
Итак, мы нашли n-ю производную комплексной функции :
,
где .
Найдем действительную часть функции .
Для этого представим комплексное число в показательной форме:
,
где ;
; .
Тогда
;
.
Пусть , .
Тогда ;
.
При ,
,
,
.
И мы получаем формулу n-й производной косинуса:
.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 16-12-2016
