No Image

Как найти наименьшее натуральное число

СОДЕРЖАНИЕ
3 716 просмотров
10 марта 2020

Для того, чтобы находить общий знаменатель при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями необходимо знать и уметь рассчитывать наименьшее общее кратное (НОК).

Кратное числу « a » — это число, которое само делится на число « a » без остатка.

Числа кратные 8 (то есть, эти числа разделятся на 8 без остатка): это числа 16, 24, 32 …

Кратные 9: 18, 27, 36, 45 …

Чисел, кратных данному числу a бесконечно много, в отличии от делителей этого же числа. Делителей — конечное количество.

Общим кратным двух натуральных чисел называется число, которое делится на оба эти числа нацело.

Наименьшим общим кратным (НОК) двух и более натуральных чисел называется наименьшее натуральное число, которое само делится нацело на каждое из этих чисел.

Как найти НОК

НОК можно найти и записать двумя способами.

Первый способ нахождения НОК

Данный способ обычно применяется для небольших чисел.

  1. Выписываем в строчку кратные для каждого из чисел, пока не найдётся кратное, одинаковое для обоих чисел.
  2. Кратное числа « a » обозначаем большой буквой «К».

Пример. Найти НОК 6 и 8 .

Второй способ нахождения НОК

Этот способ удобно использовать, чтобы найти НОК для трёх и более чисел.

  1. Разложить данные числа на простые множители. Подробнее правила разложения на простые множители вы можете прочитать в теме как найти наибольший общий делитель (НОД).
  2. Выписать в строчку множители, входящие в разложение самого большого из чисел, а под ним — разложение остальных чисел.

Количество одинаковых множителей в разложениях чисел может быть разное.

  • Подчеркнуть в разложении меньшего числа (меньших чисел) множители, которые не вошли в разложение бóльшего числа (в нашем примере это 2 ) и добавить эти множители в разложение бóльшего числа.
    НОК (24, 60) = 2 · 2 · 3 · 5 · 2
  • Полученное произведение записать в ответ.
    Ответ: НОК (24, 60) = 120
  • Оформить нахождение наименьшего общего кратного (НОК) можно также следующим образом. Найдём НОК (12, 16, 24) .

    24 = 2 · 2 · 2 · 3

    Как видим из разложения чисел, все множители 12 вошли в разложение 24 (самого бóльшего из чисел), поэтому в НОК добавляем только одну 2 из разложения числа 16 .

    НОК (12, 16, 24) = 2 · 2 · 2 · 3 · 2 = 48

    Ответ: НОК (12, 16, 24) = 48

    Особые случаи нахождения НОК

    1. Если одно из чисел делится нацело на другие, то наименьшее общее кратное этих чисел равно этому числу.
    Читайте также:  Майнинг запрещен в россии 2018

    Например, НОК (60, 15) = 60
    Так как взаимно простые числа не имеют общих простых делителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел.

    На нашем сайте вы также можете с помощью специального калькулятора найти наименьшее общее кратное онлайн, чтобы проверить свои вычисления.

    Рассмотрим три способа нахождения наименьшего общего кратного.

    Нахождение путём разложения на множители

    Первый способ заключается в нахождении наименьшего общего кратного путём разложения данных чисел на простые множители.

    Допустим, нам требуется найти НОК чисел: 99, 30 и 28. Для этого разложим каждое из этих чисел на простые множители:

    Чтобы искомое число делилось на 99, на 30 и на 28, необходимо и достаточно, чтобы в него входили все простые множители этих делителей. Для этого нам необходимо взять все простые множители этих чисел в наибольшей встречающейся степени и перемножить их между собой:

    2 2 · 3 2 · 5 · 7 · 11 = 13 860

    Таким образом, НОК (99, 30, 28) = 13 860. Никакое другое число меньше 13 860 не делится нацело на 99, на 30 и на 28.

    Чтобы найти наименьшее общее кратное данных чисел, нужно разложить их на простые множители, затем взять каждый простой множитель с наибольшим показателем степени, с каким он встречается, и перемножить эти множители между собой.

    Так как взаимно простые числа не имеют общих простых множителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел. Например, три числа: 20, 49 и 33 – взаимно простые. Поэтому

    НОК (20, 49, 33) = 20 · 49 · 33 = 32 340.

    Таким же образом надо поступать, когда отыскивается наименьшее общее кратное различных простых чисел. Например, НОК (3, 7, 11) = 3 · 7 · 11 = 231.

    Нахождение путём подбора

    Второй способ заключается в нахождении наименьшего общего кратного путём подбора.

    Пример 1. Когда наибольшее из данных чисел делится нацело на другие данные числа, то НОК этих чисел равно большему из них. Например, дано четыре числа: 60, 30, 10 и 6. Каждое из них делится нацело на 60, следовательно:

    НОК (60, 30, 10, 6) = 60

    В остальных случаях, чтобы найти наименьшее общее кратное используется следующий порядок действий:

    1. Определяем наибольшее число из данных чисел.
    2. Далее находим числа, кратные наибольшему числу, умножая его на натуральные числа в порядке их возрастания и проверяя делятся ли на полученное произведение остальные данные числа.
    Читайте также:  Проверка флешки на скорость чтения и записи

    Пример 2. Дано три числа 24, 3 и 18. Определяем самое большое из них – это число 24. Далее находим числа кратные 24, проверяя делится ли каждое из них на 18 и на 3:

    24 · 1 = 24 – делится на 3, но не делится на 18.

    24 · 2 = 48 – делится на 3, но не делится на 18.

    24 · 3 = 72 – делится на 3 и на 18.

    Таким образом, НОК (24, 3, 18) = 72.

    Нахождение путём последовательного нахождения НОК

    Третий способ заключается в нахождении наименьшего общего кратного путём последовательного нахождения НОК.

    НОК двух данных чисел равно произведению этих чисел, поделённого на их наибольший общий делитель.

    Пример 1. Найдём НОК двух данных чисел: 12 и 8. Определяем их наибольший общий делитель: НОД (12, 8) = 4. Перемножаем данные числа:

    Делим произведение на их НОД:

    Таким образом, НОК (12, 8) = 24.

    Чтобы найти НОК трёх и более чисел используется следующий порядок действий:

    1. Сначала находят НОК каких-нибудь двух из данных чисел.
    2. Потом, НОК найденного наименьшего общего кратного и третьего данного числа.
    3. Затем, НОК полученного наименьшего общего кратного и четвёртого числа и т. д.
    4. Таким образом поиск НОК продолжается до тех пор, пока есть числа.

    Пример 2. Найдём НОК трёх данных чисел: 12, 8 и 9. НОК чисел 12 и 8 мы уже нашли в предыдущем примере (это число 24). Осталось найти наименьшее общее кратное числа 24 и третьего данного числа – 9. Определяем их наибольший общий делитель: НОД (24, 9) = 3. Перемножаем НОК с числом 9:

    Содержание статьи

    • Как найти наименьшее общее кратное чисел
    • Что такое взаимно простые числа
    • Как разложить на множители числа

    Нахождение наименьшего общего кратного: основные понятия

    Чтобы понять, как вычислять НОК, следует определиться в первую очередь со значением термина "кратное".

    Кратным числу А называют такое натуральное число, которое без остатка делится на А. Так, числами кратными 5 можно считать 15, 20, 25 и так далее.

    Делителей конкретного числа может быть ограниченное количество, а вот кратных бесконечное множество.

    Общее кратное натуральных чисел – это такое число, которое делится на них без остатка.

    Читайте также:  Сколько гарантия на computeruniverse

    Как найти наименьшее общее кратное чисел

    Наименьшее общее кратное (НОК) чисел (двух, трех или больше) – это самое маленькое натурально число, которое делится на все эти числа нацело.

    Чтобы найти НОК, можно использовать несколько способов.

    Для небольших чисел удобно выписать в строчку все кратные этих чисел до тех пор, пока среди них не найдется общее. Кратные обозначают в записи заглавной буквой К.

    Например, кратные числа 4 можно записать так:

    Так, можно увидеть, что наименьшим общим кратным чисел 4 и 6 является число 24. Эту запись выполняют следующим образом:

    Если числа большие, или нужно найти наименьшее общее кратное трех и более чисел, то лучше использовать другой способ вычисления НОК.

    Для выполнения задания необходимо разложить предложенные числа на простые множители.

    Сначала нужно выписать в строчку разложение наибольшего из чисел, а под ним – остальных.

    В разложении каждого числа может присутствовать различное количество множителей.

    Например, разложим на простые множители числа 50 и 20.

    В разложении меньшего числа следует подчеркнуть множители, которые отсутствуют в разложении первого самого большого числа, а затем их добавить к нему. В представленном примере не хватает двойки.

    Теперь можно вычислить наименьшее общее кратное 20 и 50.

    НОК (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

    Так, произведение простых множителей большего числа и множителей второго числа, которые не вошли в разложение большего, будет наименьшим общим кратным.

    Чтобы найти НОК трех чисел и более, следует их все разложить на простые множители, как и в предыдущем случае.

    В качестве примера можно найти наименьшее общее кратное чисел 16, 24, 36.

    Так, в разложение большего числа на множители не вошли только две двойки из разложения шестнадцати (одна есть в разложении двадцати четырех).

    Таким образом, их нужно добавить к разложению большего числа.

    НОК (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

    Существуют частные случаи определения наименьшего общего кратного. Так, если одно из чисел можно поделить без остатка на другое, то большее из этих чисел и будет наименьшим общим кратным.

    Например, НОК двенадцати и двадцати четырех будет двадцать четыре.

    Если необходимо найти наименьшее общее кратное взаимно простых чисел, не имеющих одинаковых делителей, то их НОК будет равняться их произведению.

    Комментировать
    3 716 просмотров
    Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

    Это интересно
    Adblock
    detector