11 класс
1. На систему, состоящую из двух соединенных пружиной шариков массы m, покоящуюся на гладкой горизонтальной поверхности, налетает слева шарик массы M.
Происходит лобовой абсолютно упругий удар. Найти отношение масс g = m/M, при котором удар произойдет еще раз.
2. Цилиндрическая камера (рис. 0.1) длиной 2l с поршнем сечением S (общая масса M) может двигаться по горизонтальной плоскости с коэффициентом трения m . Слева от поршня, расположенного в центре камеры, находится газ при температуре T и давлении P. Между неподвижной стенкой и поршнем помещена пружина жесткости k. Во сколько раз нужно увеличить температуру газа слева от поршня, чтобы его объем удвоился, если между камерой и поршнем трения нет? Наружное давление равно P. Решение
3. Электроны ускоряются в электронной пушке электрическим полем, проходя отрезок пути, напряжение на концах которого U = 10 3 B. Вылетев из пушки в точке A, электроны движутся затем по прямой AN (рис. 0.1). В точке M на расстоянии d = 5 см от точки A находится мишень, причем прямая AM образует угол a = 60 0 с прямой AN. Какой должна быть индукция в случае а) однородного магнитного поля В, перпендикулярного плоскости рисунка, или в случае б) однородного магнитного поля B1, параллельного прямой AM, для того, чтобы электроны попадали в мишень и в том, и в другом случае? Считать, что модули векторов индукции В и B1 не превышают 0,03 Тл. Решение
4. Переменный конденсатор с начальной емкостью C, заряженный до напряжения U, замыкают на резистор с сопротивлением R (рис. 0.1). Как нужно изменять со временем емкость конденсатора, чтобы в цепи шел постоянный ток? Какую мощность развивают внешние силы, благодаря которым изменяется емкость конденсатора? Решение
Решения
1. Очевидно, что второй удар произойдет, если скорость шарика М после удара направлена в сторону движения шариков m
MV = MV ╒ +mV1. |
Рассматриваем удар с одним шариком, так как время удара мало по сравнению с временем, за которое сжимающаяся пружина начнет передавать импульсы второму шарику. Записав закон сохранения энергии
MV 2 2 | = | MV ╒ 2 2 | + | mV1 2 2 | , |
Найдем
V ╒ = | M–m M+m | V, V1 = | 2M M+m | V. |
Ясно, что
V ╒ > 0 если M > m. |
Центр масс системы двух шариков будет перемещаться со скоростью
V2 = | 1 2 | V1 = | M M+m | V. |
Второе столкновение произойдет, если через 3/4 периода колебаний, когда расстояние между шариками будет максимальным, шар М догонит шарик m.
Период колебаний определится как период колебаний одного из шариков относительно центра масс и равен
(Формула ниже — gif-образ:)
где k1 – жесткость половины пружины, k1 = 2k, k – жесткость пружины длины l.
За это время шар M пройдет расстояние
(Формула ниже — gif-образ:)
Шарик m пройдeт расстояние
l = | 3 4 | V2T–x, |
где x – амплитуда колебаний шариков, определяемая из закона сохранения энергии:
mV1 2 2 | = | k(2x) 2 2 | + | 2mV2 2 2 | , |
(Формула ниже — gif-образ:)
Второй удар произойдeт, если L Ё l
(Формула ниже — gif-образ:)
или | m M | 3 p | . |
Более точное решение можно получить, рассматривая равенство
V ╒ t = V2t–xsin( w t), |
т.е. решая традиционное уравнение.
2. Следует рассмoтреть два случая:
1. Камера покоится ( m mg Ё kl)
(P–P)S = kl , P | 2Sl T | = P | Sl T | . |
Отсюда
T T | = 2 | ж з и |
1+ | kl PS | ц ч ш |
. |
2. Камера покоится до момента достижения максимального значения силы трения покоя. Найдем соответствующую этому моменту температуру T ╒ . Деформация пружины
x = | m mg k | , |
кроме того
P–P = | m mg S | , | PS(l+x) T ╒ | = | PSl T | , |
T ╒ T | = | ж з и |
1+ | m mg PS | ц ч ш |
ж з и |
1+ | m mg kl | ц ч ш |
. |
После возникновения проскальзывания камеры процесс увеличения объема идет при постоянном давлении:
T T ╒ | = | V V | = | 2lS (l+x)S | = | 2 1+ m mg/kl | . |
Подставляя в это выражение Т ╒ , получаем
T T | = 2 | ж з и |
1+ | m mg PS | ц ч ш |
. |
3. а) Электроны попадут в мишень, если AM будет другой окружности, которая является траекторией электронов в магнитном поле В. Скорость электронов определяется из условия
2017-03-18
Электроны ускоряются в электронной пушке электрическим полем, проходя отрезок пути, напряжение на концах которого $U = 10^ <3>В$. Вылетев из пушки в точке Т, электроны движутся затем по прямой $TT^< prime>$ (рис.). В точке М на расстоянии $d = 5,0 см$ от точки Т находится мишень, причем прямая ТМ образует угол $alpha =60^< circ>$ с прямой $TT^< prime>$.
1) Какой должна быть индукция $vec$ однородного магнитного поля, перпендикулярного плоскости рисунка, чтобы электроны, вылетевшие из пушки, попадали в мишень?
2) Какой должна быть индукция $vec_<1>$ однородного магнитного поля, параллельного прямой ТМ, чтобы электроны попадали в мишень?
Считать, что модули векторов индукции $vec$ и $vec_<1>$ не превышают 0,03 Тл.
рис.1
рис.2
1) Электроны попадают в магнитное поле, имея скорость $v$, которую они приобрели, ускоряясь в электрическом поле:
где $e$ и $m$ — заряд и масса электрона. В случае, когда вектор индукции магнитного поля $vec$ перпендикулярен плоскости рисунка (рис. 1), электроны движутся в этом поле по окружности, которая касается прямой $TT^< prime>$ в точке $T$, и попадают в точку М мишени.
Центростремительное ускорение электронов создается силой Лоренца $F_ <Л>= evB$:
Искомая индукция магнитного поля равна
Подставляя в эту формулу выражение (1), получим
Из рис. 1 видно, что
Подставив (4) в (3), получим ответ задачи в общем виде:
и найдем числовое значение индукции: $B=3,7 cdot 10^ <-3>Тл$.
2) В этом случае электроны влетают в магнитное поле под углом $alpha$ к вектору индукции магнитного поля $vec_<1>$ и движутся по спирали. Это сложное движение можно представить как результат двух движений: равномерного движения со скоростью $v_ <1>= v cos alpha$ в направлении линий индукции магнитного поля и равномерного движения по окружности со скоростью $v_ <2>= v sin alpha$ а в плоскости, перпендикулярной прямой ТМ (рис. 2).
Сделав целый оборот вокруг оси спирали за время $t = 2 pi R_<1>/v_<2>$, электроны пересекут прямую ТМ на расстоянии $l = v_<1>t$ от точки Т. Чтобы электроны попали в мишень М, им необходимо сделать целое число оборотов, т. е. чтобы расстояние $TM = d$ содержало целое число отрезков $l$:
$d = nl = nv_ <1>frac<2 pi R_<1>><2>> = 2 pi R_ <1>n frac<1>>1>2><2>> = 2 pi R_ <1>n ctg alpha$. (6)2>
При движении электронов по окружности под действием силы Лоренца $ev_<2>B_ <1>= mv_<2>^<2>/R_<1>$,
Учитывая, что $v_ <2>= v cos alpha$, и используя полученное выражение для скорости электрона $v$ (1), получим:
Из (6) и (8) получаем
и находим искомое значение индукции $B_<1>$ магнитного поля:
По условию задачи $B_ <1>leq 3 cdot 10^ <-2>Тл$, поэтому возможны такие значения модуля индукции $B_<1>$ при $n=1, 2, 3, 4: B_ <1>= 6,7 cdot 10^ <-3>Тл; B_<1>^ < prime>= 1,34 cdot 10^ <-2>Тл; B_<1>^ < prime prime>= 2,01 cdot 10^ <-2>Тл; B_<1>^ < prime prime prime>= 2,68 cdot 10^ <-2>Тл$. (При больших $n$ значения $B geq 3 cdot 10^ <-2>Тл$.)
Из электронной пушки, ускоряющее напряжение в которой U = 600 В, вылетает электрон и попадает в однородное магнитное поле с индукцией В = 1,2 Тл. На правление скорости составляет с направлением линий маг нитной индукции угол α = 30°. Найти ускорение электро на в магнитном поле. Отношение заряда электрона к его массе е/те = 1,76 · 10 11 Кл/кг.
Дано:
Решение:
Сила Лоренца , действующая на движущийся в магнитном поле электрон, сообщает ему ускорение а, сонаправленное с этой силой. По второму закону Ньютона имеем уравнение движения F Л = mea , или в проекциях на направление силы Лоренца F Л = mea , от куда
. (1)
Модуль силы Лоренца
, (2)
где υ – скорость электрона, с которой он вылетел из элект ронной пушки. Изменение кинетической энергии электрона в электронной пушке равно работе электростатического поля: mev 2 /2 = eU . Отсюда
(3)
Подставив значения (2) и (3) в формулу (1), получим
Ответ: