Введите функцию, для которой необходимо вычислить интеграл
После вычисления неопределённого интеграла, вы сможете получить бесплатно ПОДРОБНОЕ решение введённого вами интеграла.
Найдем решение неопределенного интеграла от функции f(x)
(первообразную функции).
Примеры
С применением степени
(квадрат и куб) и дроби
С применением синуса и косинуса
Гиберболические синус и косинус
Гиберболические тангенс и котангенс
Гиберболические арксинус и арккосинус
Гиберболические арктангенс и арккотангенс
Правила ввода выражений и функций
© Контрольная работа РУ – калькуляторы онлайн
Формула интегрирования по частям
Ниже, при решении примеров, применяется формула интегрирования по частям:
;
.
Подробнее >>>
Примеры интегралов, содержащих логарифм и обратные тригонометрические функции
Вот примеры интегралов, которые интегрируются по частям:
, , , , , , .
При интегрировании ту часть подынтегрального выражения, которая содержит логарифм или обратные тригонометрические функции обозначают через u , остальное – через dv .
Ниже приведены примеры с подробными решениями этих интегралов.
Простой пример с логарифмом
Вычислим интеграл, содержащий произведение многочлена и логарифма:
Здесь подынтегральное выражение содержит логарифм. Делаем подстановки
u = ln x , dv = x 2 dx . Тогда
,
.
Интегрируем по частям.
.
Вычисляем оставшийся интеграл:
.
Тогда
.
В конце вычислений добавим постоянную C .
Пример логарифма в степени 2
Рассмотрим пример, в котором в подынтегральное выражение входит логарифм в целочисленной степени. Такие интегралы также могут интегрироваться по частям.
Делаем подстановки
u = (ln x ) 2 , dv = x dx . Тогда
,
.
Оставшийся интеграл также вычисляем по частям:
.
Подставляем
.
Пример, в котором аргумент логарифма является многочленом
По частям могут вычисляться интегралы, в подынтегральное выражение которого входит логарифм, аргумент которого является многочленом, рациональной или иррациональной функцией. В качестве примера, вычислим интеграл с логарифмом, аргумент которого является многочленом.
.
Делаем подстановки
u = ln( x 2 – 1) , dv = x dx .
Тогда
,
.
Вычисляем оставшийся интеграл:
.
Мы здесь не пишем знак модуля ln | x 2 – 1| , поскольку подынтегральное выражение определено при x 2 – 1 > 0 . Подставляем
.
Пример с арксинусом
Рассмотрим пример интеграла, в подынтегральное выражение которого входит арксинус.
.
Делаем подстановки
u = arcsin x ,
.
Тогда
,
.
Далее замечаем, что подынтегральное выражение определено при |x| 1 . Раскроем знак модуля под логарифмом, учитывая что 1 – x > 0 и 1 + x > 0 .
Пример с арктангенсом
Решим пример с арктангенсом:
.
Интегрируем по частям.
.
Выделим целую часть дроби:
x 8 = x 8 + x 6 – x 6 – x 4 + x 4 + x 2 – x 2 – 1 + 1 = ( x 2 + 1)( x 6 – x 4 + x 2 – 1) + 1 ;
.
Интегрируем:
.
Окончательно имеем:
.
Еще один пример с арксинусом
Интегрируем по частям.
.
Вычисляем оставшийся интеграл. При x > 0 имеем:
.
.
.
При x сделаем подстановку x = – t, t > 0 :
.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 19-10-2014
ЛУЧШИЙ ОТВЕТ |
Вы можете заказать решение контрольной работы
по адресу , вместо бульдога ставьте @
Брать будем по частям.
u=arctg(2x) du = 2dx/(1+4x²)
dv = xdx v=½x²
Интеграл равен ½x²arctg(2x) – ∫x²dx/(1+4x²).
Считаем второй интеграл.
∫x²dx/(1+4x²) = (1/4)·∫4x²dx/(1+4x²) = (1/4)·∫1-[1/(1+4x²)]dx = (1/4)·[x-½arctg(2x)] = ¼x – (1/8)·arctg(2x);
Отсюда исходный интеграл равен
½x²arctg(2x) – (1/4)x+(1/8)·arctg(2x) + C – можно так и оставить.