No Image

Интеграл от arctg x

СОДЕРЖАНИЕ
548 просмотров
10 марта 2020

Введите функцию, для которой необходимо вычислить интеграл

После вычисления неопределённого интеграла, вы сможете получить бесплатно ПОДРОБНОЕ решение введённого вами интеграла.

Найдем решение неопределенного интеграла от функции f(x)
(первообразную функции).

Примеры

С применением степени
(квадрат и куб) и дроби

С применением синуса и косинуса

Гиберболические синус и косинус

Гиберболические тангенс и котангенс

Гиберболические арксинус и арккосинус

Гиберболические арктангенс и арккотангенс

Правила ввода выражений и функций

© Контрольная работа РУ – калькуляторы онлайн

Формула интегрирования по частям

Ниже, при решении примеров, применяется формула интегрирования по частям:
;
.
Подробнее >>>

Примеры интегралов, содержащих логарифм и обратные тригонометрические функции

Вот примеры интегралов, которые интегрируются по частям:
, , , , , , .

При интегрировании ту часть подынтегрального выражения, которая содержит логарифм или обратные тригонометрические функции обозначают через u , остальное – через dv .

Ниже приведены примеры с подробными решениями этих интегралов.

Простой пример с логарифмом

Вычислим интеграл, содержащий произведение многочлена и логарифма:

Здесь подынтегральное выражение содержит логарифм. Делаем подстановки
u = ln x , dv = x 2 dx . Тогда
,
.

Интегрируем по частям.
.

Вычисляем оставшийся интеграл:
.
Тогда
.
В конце вычислений добавим постоянную C .

Пример логарифма в степени 2

Рассмотрим пример, в котором в подынтегральное выражение входит логарифм в целочисленной степени. Такие интегралы также могут интегрироваться по частям.

Делаем подстановки
u = (ln x ) 2 , dv = x dx . Тогда
,
.

Оставшийся интеграл также вычисляем по частям:
.
Подставляем
.

Пример, в котором аргумент логарифма является многочленом

По частям могут вычисляться интегралы, в подынтегральное выражение которого входит логарифм, аргумент которого является многочленом, рациональной или иррациональной функцией. В качестве примера, вычислим интеграл с логарифмом, аргумент которого является многочленом.
.

Делаем подстановки
u = ln( x 2 – 1) , dv = x dx .
Тогда
,
.

Вычисляем оставшийся интеграл:
.
Мы здесь не пишем знак модуля ln | x 2 – 1| , поскольку подынтегральное выражение определено при x 2 – 1 > 0 . Подставляем
.

Читайте также:  Где в айфоне загрузки документов

Пример с арксинусом

Рассмотрим пример интеграла, в подынтегральное выражение которого входит арксинус.
.

Делаем подстановки
u = arcsin x ,
.
Тогда
,
.

Далее замечаем, что подынтегральное выражение определено при |x| 1 . Раскроем знак модуля под логарифмом, учитывая что 1 – x > 0 и 1 + x > 0 .

Пример с арктангенсом

Решим пример с арктангенсом:
.

Интегрируем по частям.
.
Выделим целую часть дроби:
x 8 = x 8 + x 6 – x 6 – x 4 + x 4 + x 2 – x 2 – 1 + 1 = ( x 2 + 1)( x 6 – x 4 + x 2 – 1) + 1 ;
.
Интегрируем:
.
Окончательно имеем:
.

Еще один пример с арксинусом

Интегрируем по частям.
.

Вычисляем оставшийся интеграл. При x > 0 имеем:
.
.
.

При x сделаем подстановку x = – t, t > 0 :
.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 19-10-2014

ЛУЧШИЙ ОТВЕТ

Вы можете заказать решение контрольной работы
по адресу , вместо бульдога ставьте @

Брать будем по частям.
u=arctg(2x) du = 2dx/(1+4x²)
dv = xdx v=½x²
Интеграл равен ½x²arctg(2x) – ∫x²dx/(1+4x²).
Считаем второй интеграл.
∫x²dx/(1+4x²) = (1/4)·∫4x²dx/(1+4x²) = (1/4)·∫1-[1/(1+4x²)]dx = (1/4)·[x-½arctg(2x)] = ¼x – (1/8)·arctg(2x);
Отсюда исходный интеграл равен
½x²arctg(2x) – (1/4)x+(1/8)·arctg(2x) + C – можно так и оставить.

Комментировать
548 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
Adblock
detector