No Image

Что такое правильный треугольник вписанный в окружность

СОДЕРЖАНИЕ
0 просмотров
10 марта 2020

Правильным (или равносторонним) треугольником называется треугольник, у которого все стороны равны. Все углы в правильном треугольнике равны (60^circ).

В правильном треугольнике высота , биссектриса , медиана и серединный перпендикуляр , опущенные из любой вершины, совпадают между собой.

Соотношение между высотой (медианой, биссектрисой или серединным перпендикуляром) и стороной в правильном треугольнике
(h = largefrac<><2>
ormalsize)

Радиус описанной окружности правильного треугольника
(R = largefrac<<2h>><3>
ormalsize = largefrac<><3>
ormalsize)

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник
(r = largefrac<><3>
ormalsize = largefrac<><6>
ormalsize)

Соотношение между радиусами описанной и вписанной окружности
(R = 2r)

Периметр правильного треугольника
(P = 3a = 6sqrt 3 r = 3sqrt 3 R)

Площадь правильного треугольника
(S = largefrac<><2>
ormalsize = largefrac<<sqrt 3 >><4>
ormalsize = largefrac<<3sqrt 3 >><4>
ormalsize = 3sqrt 3 )

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Равносторонний треугольник – треугольник, у которого все стороны равны.

Какие же особенные свойства присущи равностороннему треугольнику?

Равносторонний треугольник. Свойства.

Свойство 1. В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны .

Естественно, не правда ли? Три одинаковых угла, в сумме , значит, каждый по .

Свойство 2. В равностороннем треугольнике точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров совпадают – оказываются одной и той же точкой. И эта точка называется центром треугольника (равностороннего!).

Почему так? А посмотрим-ка на равносторонний треугольник:

Он является равнобедренным, какую бы его сторону ни принять за основание – так сказать, со всех сторон равнобедренный.

Значит, любая высота в равностороннем треугольнике является также и биссектрисой, и медианой, и серединным перпендикуляром! В равностороннем треугольнике оказалось не особенных линий, как во всяком обычном треугольнике, а всего три!

Читайте также:  Активное шумоподавление в помещении
Центр равностороннего треугольника является центром вписанной и описанной окружности, а также точкой пересечения высот и медиан.
Свойство 3. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше, чем радиус вписанной.

Уже должно быть очевидно, отчего так.

Посмотри на рисунок: точка – центр треугольника. Значит, – радиус описанной окружности (обозначили его ), а – радиус вписанной окружности (обозначим ).

Но ведь точка – ещё и точка пересечения медиан! Вспоминаем, что медианы точкой пересечения делятся в отношении , считая от вершины.

Поэтому , то есть .

Свойство 4. В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются через длину стороны.

Давай удостоверимся в этом.

Равносторонний треугольник. Высота

Рассмотрим – он прямоугольный.

Равносторонний треугольник. Радиус описанной окружности

Мы уже выяснили, что точка – не только центр описанной окружности, но и точка пересечения медиан. Значит, .

Величину мы уже находили. Теперь подставляем:

Равносторонний треугольник. Радиус вписанной окружности

Это уже теперь должно быть совсем ясно

Ну вот, все основные сведения обсудили. Конечно, можно задавать сотни вопросов про всякие длины всяких отрезков в равностороннем треугольнике.

Но главное, что следует иметь в виду, решая задачки о равностороннем треугольнике, – это то, что все его углы известны – равны и все высоты являются и биссектрисами, и медианами, и серединными перпендикулярами.

РАВНОСТОРОННИЙ ТРЕУГОЛЬНИК. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Равносторонний треугольник – треугольник, у которого все стороны равны: .

  • В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны .
  • В равностороннем треугольнике каждая медиана совпадает с биссектрисой и высотой, которые проведены из той же вершины
  • Точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров равностороннего треугольника совпадают.
Читайте также:  Вызвать командную строку windows 10 горячие клавиши
  • Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают: точка .
  • В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше, чем радиус вписанной: .

В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются через длину стороны :

  • Высота=медиане=биссектрисе :
  • Радиус описанной окружности :
  • Радиус вписанной окружности :
  • Площадь :
  • Периметр :

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике,

А также получить доступ к учебнику YouClever без ограничений.

Равносторонний или правильный треугольник — треугольник, у которого три стороны равны. Все углы равностороннего треугольника равны.

Равносторонним треугольником называется такой треугольник, у которого все стороны равны, то есть АВ = ВС = АС (рис. 1)

Свойства равностороннего (правильного) треугольника

  1. Все углы равностороннего треугольника равны по 60°

∠А=∠С=∠В=60°

  1. Биссектрисы треугольника являются медианами и высотами, то есть равны и точка их пересечения, является центром вписанной окружности (рис. 2).

Из (рис. 2) обозначения:

h — высота=биссектриса=медиана

R — радиус описанной окружности
r — радиус вписанной окружности
a — стороны правильного треугольника

Формула периметра равностороннего треугольника:

P=3·a

Формула площади правильного треугольника:

Формула высоты (или медианы или биссектрисы) равностороннего треугольника:

Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник:

Радиус описанной окружности в равносторонний треугольник:

Комментировать
0 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
Adblock detector