No Image

Что такое мнимая единица i

СОДЕРЖАНИЕ
0 просмотров
10 марта 2020

В математике, физике мнимая единица обозначается как латинская или . Она позволяет расширить поле вещественных чисел до поля комплексных чисел. Точное определение зависит от способа расширения.

Причиной введения мнимой единицы является то, что не каждое полиномиальное уравнение с вещественными коэффициентами имеет решения в поле вещественных чисел. Так, уравнение не имеет вещественных корней. Однако оказывается, что любое полиномиальное уравнение с комплексными коэффициентами, имеет комплексное решение — «Основная теорема алгебры».

Исторически мнимая единица сначала была введена для решения вещественного кубического уравнения: нередко, при наличии трёх вещественных корней, для получения двух из них формула Кардано требовала брать кубический корень в комплексных числах.

Утверждение, что мнимая единица — это «квадратный корень из −1», не точно: ведь «−1» имеет два квадратных корня, один из которых можно обозначить как «i», а другой как «-i». Какой именно корень принять за мнимую единицу — неважно: все равенства сохранят силу при одновременной замене всех «i» на «-i» и «-i» и на «i». Однако из-за этой двусмысленности, чтобы избежать ошибочных выкладок, не следует применять обозначение для через радикал (как ).

Определение

Мнимая единица — это число, квадрат которого равен −1. Т.е. — это одно из решений уравнения

или

И тогда его вторым решением уравнения будет , что проверяется подстановкой.

Степени мнимой единицы

Степени i повторяются в цикле:

Что может быть записано для любой степени в виде:

где n — любое целое число.

Отсюда: где mod 4 это остаток от деления на 4.

Число является вещественным :

[1]

Факториал

Факториал мнимой единицы i можно определить как значение гамма-функции от аргумента 1 + i :

[2]

Корни из мнимой единицы

В поле комплексных чисел корень n-ой степени имеет n решений. На комплексной плоскости эти корни находятся в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность с единичным радиусом.

Это следует из формулы Муавра и того, что мнимая единица может быть представлена в тригонометрическом виде:

В частности, и

Также корни мнимой единицы могут быть представлены в показательном виде:

Иные мнимые единицы

В конструкции Кэли — Диксона (или в алгебрах Клиффорда) «мнимых единиц расширения» может быть несколько, и/или их квадрат может быть =«+1» или даже =«0». Но в этом случае могут возникать делители нуля, имеются и иные свойства, отличные от свойств комплексного «i». Например, в теле кватернионов три антикоммутативных мнимых единицы, а также имеется бесконечно много решений уравнения «».

См.также

Ссылки

  1. Показательная форма комплексного числа
  2. "abs(i!)", WolframAlpha.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Мнимая единица" в других словарях:

МНИМАЯ ЕДИНИЦА — число i, квадрат которого равен отрицательной единице; т. о., i =. См. Комплексное число … Большой Энциклопедический словарь

мнимая единица — число i, квадрат которого равен отрицательной единице; таким образом, . См. Комплексное число. * * * МНИМАЯ ЕДИНИЦА МНИМАЯ ЕДИНИЦА, число i, квадрат которого равен отрицательной единице; т. о., i =. См. Комплексное число (см. КОМПЛЕКСНОЕ ЧИСЛО) … Энциклопедический словарь

Читайте также:  Как заблокировать рекламу в яндекс браузере андроид

Мнимая единица — число i, квадрат которого равен отрицательной единице; таким образом … Большая советская энциклопедия

МНИМАЯ ЕДИНИЦА — комплексное число i, квадрат к рого равен минус единице … Математическая энциклопедия

МНИМАЯ ЕДИНИЦА — число i, квадрат к рого равен отрицат. единице; т.о., i = корень из l. См. Комплексное число … Естествознание. Энциклопедический словарь

Единица — ЕДИНИЦА, 1) наименьшее из натуральных чисел. 2) Мнимая единица число i, квадрат которого равен отрицательной единице: . … Иллюстрированный энциклопедический словарь

Мнимая величина — Запрос «Комплексные числа» перенаправляется сюда. Cм. также другие значения. Комплексные[1][2] числа расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x + iy, где… … Википедия

Единица — (един, один) многозначный термин. Нечто единое целое. Объект, обеспечивающий выполнение определённой функции, и который может быть заменён. Содержание 1 Математика 2 Измерение 3 Техни … Википедия

Единица (теория множеств) — Единица (един, один) многозначный термин. Содержание 1 Математика 2 Измерение 3 Экономика 4 Государство … Википедия

Мнимая часть — комплексного числа z = х + iy, множитель у при мнимой единице (См. Мнимая единица) i; М. ч. обозначается Im z … Большая советская энциклопедия

Устанавливая рекомендуемое программное обеспечение вы соглашаетесь
с лицензионным соглашением Яндекс.Браузера и настольного ПО Яндекса .

Алгебраическая форма комплексного числа.

Цели: расширить понятие числа, ввести понятие мнимой единицы и ее степеней, понятие комплексного числа; рассмотреть алгебраическую форму комплексного числа ; развивать умения обобщать полученные знания, способствовать развитию логического мышления;

воспитывать у обучающихся сознательное отношение к процессу обучения.

Мнимые числа. Определение мнимой единицы. Степени мнимой единицы.

Определение комплексного числа.

Алгебраическая форма комплексного числа.

Определение. Число, квадрат которого равняется -1, называется мнимой единицей и

Определение. Числа, которые имеют вид b і , где b — действительное число, называются

Например:

Известно, что действительные числа изображаются точками на оси ОХ. Мнимые числа изображаются точками на оси ОУ, в связи с чем ось ОХ называется действительной осью, а ось ОУ — мнимой осью. Множество мнимых чисел находится во взаимно однозначно м соответствии с множеством действительных чисел.

Определение. Мнимое число (- bi ) называется противоположным мнимому числу b і .

Например: и и .

Теорема. Люб ая натуральн ая степень числа і может быть преобразован а к

Рассмотрим выражение і m , где m — натуральное число. Понятно, что возможны четыре случая:

Пусть m =4 k +3, тогда і м

Пример. Вычислить значение выражения

.

Замечание. Для того, чтобы вычислить степень мнимой единицы, удобно пользоваться таким правилом:

1) разделить показатель степени на 4;

2) заменить і м на і р , где р — остаток, полученный при делении т на 4, то есть число р находится из равенства т = 4к + р.

Читайте также:  1С профессионал унф ответы

Определение. Комплексным числом называется число, которое имеет вид а+bi , где а, b –

действительные числа, i — мнимая единица. При этом число "а" называется

действительной частью комплексного числа, "b" — мнимой частью

Символически действительную и мнимую части комплексного числа обозначают так: (ре зет), (им зет).

В основе этих обозначений использованы первые буквы латинских слов , что означает "действительный" и "Imaginaries", что означает "мнимый".

Замечание. Иногда мнимой частью комплексного числа z = а + b і называют bi.

Для комплексных чисел не существует понятий больше и меньше, то есть комплексные числа не сравнимы.

Определение. Комплексное число (-а- bi ) называется противоположным комплексному числу

Определение. Два комплексных числа, у которых действительные части равны, а мнимые

части противоположные, называются комплексно сопряженными числами и

обозначаются соответственно и .

3.Алгебраическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме.

Комплексное число, представленное в виде называется комплексным числом в алгебраической форме .

Сложение комплексных чисел

Определение. Суммой двух комплексных чисел и называется

комплексное число .

Итак, (1)

Таким образом, чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные части, и это дает действительную часть суммы, и сложить мнимые части, что дает мнимую часть суммы.

Сумма сопряженных чисел всегда является действительн ым числом

то есть, . (2)

Вычитание комплексных чисел

Определение. Разностью двух комплексных чисел и называется такое

комплексное число , которое в сумме с числом дает число .

Вычитание комплексных чисел всегда возможно.

Теорема. Для любых комплексных чисел и всегда существует разница , которая определена однозначно.

Таким образом, для того, чтобы вычесть комплексные числа, достаточно вычесть их действительные части и их разницу взять за действительную часть разности, а также вычесть мнимую часть разности

Получается, (3)

Разность двух сопряженных чисел всегда является мнимым числом. ,

то есть, (4)

Умножение комплексных чисел

Определение. Произведением двух комплексных чисел и называется такое комплексное число, которое определяется формулой: (5)

Чтобы умножить комплексные числа следует умножить их по правилу умножения многочленов, заменив при этом на -1 и привести подобные члены.

В процессе умножения комплексных чисел лучше выполнять непосредственное умножение. Произведение сопряженных чисел всегда является действительным числом

.

Пример. Найти значение выражения .

Решение: .

Деление комплексных чисел

Определение. Частным двух комплексных чисел и называется такое

комплексное число z, которое в произведении с дает .

Всегда существует частное от деления двух комплексных чисел, если знаменатель отличается от нуля.

Теорема. Частное определено и к тому же однозначно для всех комплексных чисел и , если только , то есть .

(7)

Пример. Вычислить значение выражения .

Решение:

Над комплексными числами в алгебраической форме возможно выполнять и такие действия, как возведение в степень, извлечения корня. Но выполнение этих действий в алгебраической форме довольно трудоемкое.

Читайте также:  Сломалась свеча в двигателе

Закрепление изученного материала.

1. Вычислить:

2. Среди приведенных примеров укажите :

а) чисто мнимые комплексные числа;

б) чисто действительные комплексные числа;

в) сопряженные комплексные числа;

г) равные комплексные числа:

3. Выполнить действия: Ответ.

4. На основании равенства комплексных чисел найти действи­тельные числа и если Ответ.

5. Решить квадратные уравнения и проверить выполнение тео­ремы Виета:

а) б) Ответ. а) б)

1.Дать определение комплексного числа.

2.Сформулировать определение мнимой единицы.

3.Как найти степень мнимой единицы.

4.Какие комплексные числа называют равными, сопряженными?

5.Записать формулу для нахождения произвольного степени мнимой единицы.

6. Приведите примеры чисто мнимых чисел.

7. Дать определение суммы, произведения и частного двух комплексных чисел.

Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс Д. Т. Письменный. – 9-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2009. 608 с.: ил. – (Высшее образование).

Лунгу, К. Н. Сборник задач по высшей математике. 1 курс / К. Н. Лунгу, Д. Т. Письменный, С. Н. Федин, Ю. А. Шевченко. – 7-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2008. 576 с.: – (Высшее образование).

Григорьев В. П. Элементы высшей математики: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / В. П. Григорьев, Ю. А. Дубинский. – 10-е изд., стер. – М. Издательский центр «Академия», 2014. – 320 с.

Комплексные числа

Понятие мнимой единицы— i от французского слова imaginaire — "мнимый", число i называется мнимой единицей и определяется равенством:

такое определение позволяет извлекать корни из отрицательных чисел.

i, -1,-i, 1 .i.-1,-i,1. c периодом равным 4,

n кратно 4 значение степени 1,

Комплексные числа — выражения вида Z= x+iy,

где x и y действительные числа, i -мнимая единица.

У действительных чисел x и y,

x= Rex- действительная часть комплексного числа Z

y= Imz- мнимая часть числа Z

Два комплексных числа Z= x+ iy и Z`=x- iy называются сопряженными.

Арифметические операции над комплексными числами в алгебраической форме Z= x+ iy проводятся по правилам действий над многочленами.

Z1Z2= (2+3i)*(5-7i)=10+15i-21i в2- 14i= 10+i-21i в 2= 31+ i

Тригонометрическая формула комплексного числа: Z= r(cos q+ i sin q),

где r= |Z| = √ (x 2 + y 2 )- модуль комплексного числа

q= arg Z- аргумент комплексного числа, cos q= x / √(x 2 + y 2) , sin q= y / √(x 2 + y 2 )

из значений q= arg Z выделяется главное значение arg Z, удовлетворяющее условию -п

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Только сон приблежает студента к концу лекции. А чужой храп его отдаляет. 8959 — | 7624 — или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Комментировать
0 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
Adblock detector