No Image

Что такое dx в интегралах

0 просмотров
10 марта 2020

Здравствуйте, дорогие студенты вуза Аргемоны!

Мы с вами закончили подкурс, посвящённый непосредственно функциям, а теперь переходим к интегралам. И оставшиеся два модуля будут посвящены именно им.
Для начала нам, конечно, необходимо будет ознакомиться с самим заклинанием "Интеграл". Постараюсь вам рассказать про него как можно проще. Мы не будем вдаваться глубоко в механизм действия этого заклинания. Нам достаточно научиться им пользоваться в не самых сложных случаях.

Это заклинание по действию обратно заклинанию "производная", однако есть небольшие ньюансы. При действии заклинания "интеграл" получается не одна функция, а целое семейство (они ещё называются первообразными), которые отличаются друг от друга лишь наличием константы, обеспечивающей параллельный перенос функции по вертикали.

Если мы применим ко всему семейству таких функций F(x)+C (где C=const) заклинание "производная", то результатом будет функция f(x), потому что производная от константы равна 0 (C’=0).

Давайте рассмотрим более пристально заклинание "интеграл". Оно состоит из трёх частей:
— значка интеграла (∫),
— подынтегральной функции (f(x))
— и так называемого дифференциала dx, который нам будет очень хорошо помогать при выполнении заклинания.

Действие дифференциала чем-то похоже на действие заклинание "производная", потому что

Ну и, соответственно, чтобы занести какую-то функцию под дифференциал, надо вычислить её первоообразную

g(x)*dx=d(G(x)), где G(x) — одна из первоообразных функции g(x).

Понятно, что dx=d(x+2)=d(x-7), то есть добавлять константу в качестве слагаемого под дифференциал (если это нужно) можно безболезненно.

d(k*f(x))=k*d(f(x)), где k=const, то есть из-под дифференциала можно выносить множитель-константу. Или заносить, если это надо.

Не пугайтесь, если на данный момент вы смутно поняли объяснение. Дальше мы разберём всё подробнее, а пока представляю вам табличку интегралов основных элементарных функций (ТИОЭФ)

и основные правила вычисления интегралов (ОПВИ)

А теперь давайте на примерах изучим, как пользоваться этим заклинанием.

Видно, что интеграл подходит под формулу 6 ТИОЭФ, но, к сожалению, степень 2 и то, что под дифференциалом, не совпадает, а совпадать должно в обязательном порядке. Только тогда заклинание придёт в действие. Значит, нам сейчас надо сделать некие преобразования, чтобы достичь такого равновесия.

Читайте также:  Canon powershot g1 x mark ii kit

1-й способ. Пригоден для более опытных в таких преобразованиях магов.
Ставим под дифференциал 3х-1, но чтобы уравновесить всю конструкцию, нам надо всё поделить на 3

Если мы выполним заклинание "дифференциал", то получим наше исходное выражение

Значит, преобразование сделано верно.

Если не видно сразу, на что надо поделить или умножить, то просто делаем замену переменных. Вместо х введём другую переменную

Подставляем всё, применяем 1-е правило ОПВИ и получаем табличный интеграл. Вычислив его, необходимо сделать обратную замену

Замену полезно делать, чтобы избавиться от сложных выражений. Например, вот тут

В 7-ю степень возводить очень хлопотливо (чтобы всё привести к многочлену), поэтому делаем вот такую замену

Таким образом, степень 7 оказалась около простой переменной.

Очень интересный метод интегрирования по частям. И применяется часто. Он основан на формуле-заклинании

Видно, что под дифференциалом находится не х, как это бывает изначально, а какая-то функция (хотя в некоторых случаях и х может выступать в качестве функции). То есть мы часть подынтегральной функции забираем под дифференциал, а часть оставляем. В результате применения заклинания интегрирования по частям выражение под интегралом значительно упрощается.
Для примера рассмотрим вот такой интеграл

Видим, что e^x*dx=d(e^x). Поэтому загоняем функцию e^x под дифференциал и применяем заклинание интегрирования по частям. Степень икса понижается. То же самое делаем ещё раз, пока степень икса не понизится до 1

Применяется этот метод и когда есть не e^x, а какая-либо тригонометрическая функция совместно со степенным выражением.

Иногда в результате применения такого заклинания мы возвращаемся вроде как к началу, но с некоторым довеском. Например,

При работе с тригонометрическими функциями полезно применять небольшие заклинания, позволяющие понизить степень:

А также не забывать об основном тригонометрическом тождестве, которое позволяет при необходимости выразить одну функцию через другую

Ну, думаю, нам этих сведений вполне хватит для того, чтобы применять заклинание "интеграл" к несложным функциям.

А теперь домашнее задание.
Выберите, на свой вкус, 10 функций из предложенных и примените к ним заклинание "интеграл".

Отправляйте работы через ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Свои вопросы смело можете передать с Персефоной

Читайте также:  Conduit engine что это за программа

Таблица интегралов представляет собой набор интегралов от различных функций, таких как:

Эти интегралы в основном от элементарных функций и эта таблица приведена ниже:

В колонках этой таблицы:

  • В этой таблице в первой колонке приведен интеграл и чему он равен
  • Во второй колонке таблицы находится описание этого интеграла в словах
  • В третье колонке приведены примеры, как же пользоваться калькулятором интегралов

Получается, что ваша задача здесь научиться не только пользоваться таблицей интегралов, но и научиться вычислять интегралы с помощью калькулятора онлайн на этом сайте kontrolnaya-rabota.ru. Сам калькулятор интегралов находится по ссылке решение интегралов онлайн. Самое интересное, он умеет выдавать не только ответ, но и подробное решение бесплатно!

Пожалуйста, пишите, что вам не понятно будет на почту mail@kontrolnaya-rabota.ru о недостатках данной таблицы, чтобы вы хотели видеть еще здесь.

Видео примеры по использованию таблицы

Неопределенные интегралы:

Определенные интегралы:

Определение. Функция F(x) называется первообразной от функции f(x) на отрезке [a;b] , если во всех точках этого отрезка выполняется равенство F`(x) = f(x) .

(1 — cos x)` = sin x

Функция f(x) непрерывная функция на отрезке [a;b] .

Теорема . Если функция F 1 (x) b F 2 (x) — две первообразные от функции f(x) на отрезке [a;b] , то разность между ними равна постоянному числу.

F 2 `(x) = f(x) , то F 1 `(x) — F 2 `(x) = Const .

φ ` ( x ) = F 1 ` — F 2 ` = 0

F 1 (x) — F 2 (x) = φ( x ) (2)

Тогда на основании равенств (1) будет:

F 1 `(x) — F 2 ` ( x ) = f(x) — f(x) = 0 или φ ` ( x ) = [F 1 (x) — F 2 (x)]` = 0 при любом значении x на отрезке [a;b] . Но из равенства φ ` ( x ) = 0 следует, что φ( x ) есть постоянная.

Действительно , применим теорему Лагранжа к функции φ( x ), которая, очевидно, непрерывна и дифференцируема на отрезке [a;b] . Какова ни была точка x на отрезке [a;b] , мы имеем в силу теоремы Лагранжа.

φ ( x ) — φ ( a ) = φ ` ( x ) (x-a) , где a x x .

Так как φ ` ( x ) = 0, то φ ( x ) — φ ( a ) = 0 или φ ( x ) = φ ( a ) (3)

Таким образом, функция φ( x ) в любой точке x отрезка [a;b] сохраняет значения φ( a ) , а это значит, что функция φ( x ) является постоянной на отрезке [a;b] . Обозначая постоянную φ( a ) через С, из равенств (2) , (3) полу ч аем :

Читайте также:  Яндекс диск webdav api

Определение. Если функция F (x) является первообразной для f (x) , то выражение F (x) + С называется неопределённым интегралом от функции f (x) и обозначается символом ∫ f (x) dx. Таким образом, по определению,

∫ f (x) dx = F (x) + С, если F (x) = f (x) .

При этом функцию f (x) называют подынтегральной функцией, f (x) dx — подынтегральным выражением, знак ∫ — знаком интеграла.

Из этого определения следуют свойства:
1. Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, т.е. если F`(x) = f (x) , то и

( ∫ f (x) dx )` = (F (x) + C)` = f (x) (4)

Последнее равенство нужно принимать в том смысле, что производная от любой первообразной равна подынтегральной функции.

2. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению

d ( ∫ f (x) dx ) = f (x) dx (5)

Это получается на основании формулы (4)

3. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная

Справедливость последнего равенства легко проверить дифференцированием (дифференциала от обоих частей равенства равны dFx) )

Таблица неопределённых интегралов.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

Интегрирование — есть линейная операция.

1. ∫ [f 1 (x) + f 2 (x)] dx = ∫ f 1 (x) dx + ∫ f 2 (x) dx

∫ a f (x) dx = a ∫ f (x) dx

2. ∫ f (x+c) dx = F (x+c) + C

3. Подстановка. 1-ый способ вычисления неопределённых интегралов.

x = φ (t), тогда ∫ f ( φ (t)) φ ` (t) dt = F (x) + C = ∫ f (x) dx

x = φ (t) dx dt = φ `

Интегрирование по частям.

Пусть u и v — две дифференцируемые функции от x . Тогда, как известно, дифференциал произведения uv вычисляется по следующей формуле:

Отсюда, интегрируя, получаем:

Последняя формула называется формулой интегрирования по частям. Эта формула чаще всего применяется к интегрированию выражений, которые можно так представить в виде произведения двух сомножителей u и dv , чтобы отыскание функции v по её дифференциалу dv и вычисление интеграла v du составляли в совокупности задачу более простую, чем непосредственное вычисление интеграла u dv .

Пример. ∫ x sin x dx = ∫ — x cos x + ∫ cos x dx = -x cos x + sin x + C

Комментировать
0 просмотров
Комментариев нет, будьте первым кто его оставит

Это интересно
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
No Image Компьютеры
0 комментариев
Adblock detector